В начале 19 в., когда эпоха штурма и натиска в «создании математического анализа» завершилась, на первый план вышли вопросы его обоснования. В работах Абеля, Коши и ряда других выдающихся математиков были точно определены понятия «предела», «непрерывной функции», «сходящегося ряда». Это было необходимо для того, чтобы внести логический порядок в основание математического анализа с тем, чтобы сделать его надежным инструментом исследования. Потребность в тщательном обосновании стала еще более очевидной после открытия в 1872 Вейерштрассом всюду непрерывных, но нигде не дифференцируемых функций (график таких функций в каждой своей точке имеет излом). Этот результат произвел ошеломляющее впечатление на математиков, поскольку явно противоречил их геометрической интуиции. Еще более поразительным примером ненадежности геометрической интуиции стала построенная Д.Пеано непрерывная кривая, целиком заполняющая некоторый квадрат, т.е. проходящая через все его точки. Эти и другие открытия вызвали к жизни программу «арифметизации» математики, т.е. придания ей большей надежности путем обоснования всех математических понятий с помощью понятия числа. Почти пуританское воздержание от наглядности в работах по основаниям математики имело свое историческое оправдание.

По современным канонам логической строгости недопустимо говорить о площади под кривой y = f(x) и над отрезком оси х, даже если f – непрерывная функция, не определив предварительно точный смысл термина «площадь» и не установив, что определенная таким образом площадь действительно существует. Эта задача была успешно решена в 1854 Б.Риманом, который дал точное определение понятия определенного интеграла. С тех пор идея суммирования, стоящая за понятием определенного интеграла, была предметом многих глубоких исследований и обобщений. В результате сегодня удается придать смысл определенному интегралу, даже если подынтегральная функция является повсюду разрывной. Новые понятия интегрирования, в создание которых большой вклад внес А.Лебег (1875–1941) и другие математики, приумножили мощь и красоту современного математического анализа.

Вряд ли было бы уместно входить в детали всех этих и других понятий. Ограничимся лишь тем, что приведем строгие определения предела и определенного интеграла.

1) Число L называется пределом функции f (x) при х, стремящимся к а, если при любом сколь угодно малом числе e найдется соответствующее положительное число d, такое, что

(Вертикальные черточки означают, что мы имеем дело с абсолютной величиной заключенного между ними числа.)

2) Пусть f(x) – функция, при всех х принимающая значения из некоторого замкнутого интервала [a, b], т.е. при a Ј x Ј b. Поместим между a = x₀ и b = x_n последовательность чисел x¹, x², ..., x_{n – 1}, расположив их в порядке возрастания, т.е. так, чтобы

Такая процедура называется разбиением интервала [a, b]. Пусть x_k^* – любое число из замкнутого интервала [x_{k – 1}, x_k], k = 1, 2, ..., n, и пусть D_kx = x_k – x_{k – 1} – длина этого интервала. Просуммируем все произведения f(x_k^*)D_kx (k = 1, 2, ..., n) и обозначим полученную сумму

Если эта сумма имеет предел L, когда n стремится к бесконечности и наибольшая длина D_kx стремится к нулю, причем L не зависит от выбора x_k^* и x_k, то L называется определенным интегралом от f(x) по [a, b] в смысле Римана и обозначается

В заключение скажем, что математический анализ, являясь крайне ценным инструментом в руках ученого и инженера, и сегодня привлекает внимание математиков как источник плодотворных идей. В то же время современное развитие как будто свидетельствует и о том, что математический анализ все более поглощается такими доминирующими в 20 в. разделами математики, как абстрактная алгебра и топология. См. также ФУНКЦИЙ ТЕОРИЯ; ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ.

назад