Повернем часть плоскости, заключенной внутри четверти круга радиуса r, на угол 360° вокруг оси х. В результате мы получим полушарие (рис. 20), объем которого обозначим V(x). Требуется определить, с какой скоростью возрастает V(x) с увеличением x. Переходя от х к х + h, нетрудно убедиться в том, что приращение объема меньше, чем объем p(r² – x²)h кругового цилиндра радиуса и высотой h, и больше, чем объем p[r² – (x + h)²]h цилиндра радиуса и высотой h. Следовательно, на графике функции V(x) угловой коэффициент секущей заключен между p(r² – x²) и p[r² – (x + h)²]. Когда h стремится к нулю, угловой коэффициент стремится к

(7.72 Кб)

Следовательно,

При x = r мы получаем

для объема полушария, и, следовательно, 4pr³/3 для объема всего шара.

Аналогичный метод позволяет находить длины кривых и площади искривленных поверхностей. Например, если a(x) – длина дуги PR на рис. 21, то наша задача состоит в вычислении aў(x). Воспользуемся на эвристическом уровне приемом, который позволяет не прибегать к обычному предельному переходу, необходимому при строгом доказательстве результата. Предположим, что скорость изменения функции а(x) в точке Р такая же, какой она была бы при замене кривой ее касательной PT в точке P. Но из рис. 21 непосредственно видно, при шаге h вправо или влево от точки х вдоль РТ значение а(x) меняется на

(6.78 Кб)

Следовательно, скорость изменения функции a(x) составляет

Чтобы найти саму функцию a(x), необходимо лишь проинтегрировать выражение, стоящее в правой части равенства. Оказывается, что для большинства функций выполнить интегрирование довольно трудно. Поэтому разработка методов интегрального исчисления составляет большую часть математического анализа.

назад   дальше