Students.by - это живая энциклопедия белорусского студента (статьи, книги, мультимедиа). Еще мы предлагаем поиск по лучшим полнотекстовым научным хранилищам Беларуси!
|
Функции двух переменных. В связи с кривой y = f(x) мы рассмотрели две задачи. 1) Найти угловой коэффициент касательной к кривой в данной точке. Эта задача решается вычислением значения производной f ў(x) в указанной точке.2) Найти площадь под кривой над отрезком оси х, ограниченную вертикальными линиями х = а и х = b. Эта задача решается вычислением определенного интеграла . Каждая из этих задач имеет аналог в случае поверхности z = f(x,y). 1) Найти касательную плоскость к поверхности в данной точке.2) Найти объем под поверхностью над частью плоскости ху, ограниченной кривой С, а сбоку перпендикулярами к плоскости xy, проходящими через точки граничной кривой С (см. рис. 22). (7.58 Кб)Следующие примеры показывают, как решаются эти задачи. Пример 4. Найти касательную плоскость к поверхности в точке (0,0,2). Плоскость определена, если заданы две лежащие в ней пересекающиеся прямые. Одну из таких прямых (l1) мы получим в плоскости xz (у = 0), вторую (l2) в плоскости yz (x = 0) (см. рис. 23). (9.38 Кб) Прежде всего, если у = 0, то z = f(x,0) = 2 2x 3x2. Производная по х, обозначаемая fўx(x,0) = 2 6x, при х = 0 имеет значение 2. Прямая l1, задаваемая уравнениями z = 2 2x, у = 0 касательная к С1, линии пересечения поверхности с плоскостью у = 0. Аналогично, если х = 0, то f(0,y) = 2 y y2, и производная по у имеет вид Так как fўy(0,0) = 1, кривая С2 линия пересечения поверхности с плоскостью yz имеет касательную l2, задаваемую уравнениями z = 2 y, х = 0. Искомая касательная плоскость содержит обе прямые l1 и l2 и записывается уравнением Это уравнение плоскости. Кроме того, мы получаем прямые l1 и l2, полагая, соответственно, у = 0 и х = 0. В том, что уравнение (7) действительно задает касательную плоскость, на эвристическом уровне можно убедиться, если заметить, что это уравнение содержит члены первого порядка, входящие в уравнение (6), и что члены второго порядка можно представить в виде [2x2 + (x + y)2]. Так как это выражение отрицательно при всех значениях х и у, кроме х = у = 0, поверхность (6) всюду лежит ниже плоскости (7), кроме точки Р = (0,0,0). Можно сказать, что поверхность (6) выпукла вверх в точке Р. Пример 5. Найти касательную плоскость к поверхности z = f(x,y) = x2 y2 в начале координат 0.На плоскости у = 0 имеем: z = f(x,0) = x2 и fўx(x,0) = 2x. На С1, линии пересечения, z = x2. В точке O угловой коэффициент равен fўx(0,0) = 0. На плоскости х = 0 имеем: z = f(0,y) = y2 и fўy(0,y) = 2y. На С2, линии пересечения, z = y2. В точке O угловой коэффициент кривой С2 равен fўy(0,0) = 0. Так как касательные к С1 и С2 являются осями х и у, касательная плоскость, содержащая их, есть плоскость z = 0. Однако в окрестности начала координат наша поверхность не находится по одну сторону от касательной плоскости. Действительно, кривая С1 всюду, за исключением точки 0, лежит выше касательной плоскости, а кривая С2 соответственно ниже ее. Поверхность пересекает касательную плоскость z = 0 по прямым у = х и у = х. Про такую поверхность говорят, что она имеет седловую точку в начале координат (рис. 24). (9.39 Кб) |
|