Вывести на печать

Функции двух переменных. В связи с кривой y = f(x) мы рассмотрели две задачи.

1) Найти угловой коэффициент касательной к кривой в данной точке. Эта задача решается вычислением значения производной f ў(x) в указанной точке.

2) Найти площадь под кривой над отрезком оси х, ограниченную вертикальными линиями х = а и х = b. Эта задача решается вычислением определенного интеграла .

Каждая из этих задач имеет аналог в случае поверхности z = f(x,y).

1) Найти касательную плоскость к поверхности в данной точке.

2) Найти объем под поверхностью над частью плоскости ху, ограниченной кривой С, а сбоку – перпендикулярами к плоскости xy, проходящими через точки граничной кривой С (см. рис. 22).

(7.58 Кб)

Следующие примеры показывают, как решаются эти задачи.

Пример 4. Найти касательную плоскость к поверхности

в точке (0,0,2).

Плоскость определена, если заданы две лежащие в ней пересекающиеся прямые. Одну из таких прямых (l1) мы получим в плоскости xz (у = 0), вторую (l2) – в плоскости yz (x = 0) (см. рис. 23).

(9.38 Кб)

Прежде всего, если у = 0, то z = f(x,0) = 2 – 2x – 3x2. Производная по х, обозначаемая fўx(x,0) = –2 – 6x, при х = 0 имеет значение –2. Прямая l1, задаваемая уравнениями z = 2 – 2x, у = 0 – касательная к С1, линии пересечения поверхности с плоскостью у = 0. Аналогично, если х = 0, то f(0,y) = 2 – yy2, и производная по у имеет вид

Так как fўy(0,0) = –1, кривая С2 – линия пересечения поверхности с плоскостью yz – имеет касательную l2, задаваемую уравнениями z = 2 – y, х = 0. Искомая касательная плоскость содержит обе прямые l1 и l2 и записывается уравнением

Это – уравнение плоскости. Кроме того, мы получаем прямые l1 и l2, полагая, соответственно, у = 0 и х = 0.

В том, что уравнение (7) действительно задает касательную плоскость, на эвристическом уровне можно убедиться, если заметить, что это уравнение содержит члены первого порядка, входящие в уравнение (6), и что члены второго порядка можно представить в виде –[2x2 + (x + y)2]. Так как это выражение отрицательно при всех значениях х и у, кроме х = у = 0, поверхность (6) всюду лежит ниже плоскости (7), кроме точки Р = (0,0,0). Можно сказать, что поверхность (6) выпукла вверх в точке Р.

Пример 5. Найти касательную плоскость к поверхности z = f(x,y) = x2y2 в начале координат 0.

На плоскости у = 0 имеем: z = f(x,0) = x2 и fўx(x,0) = 2x. На С1, линии пересечения, z = x2. В точке O угловой коэффициент равен fўx(0,0) = 0. На плоскости х = 0 имеем: z = f(0,y) = –y2 и fўy(0,y) = –2y. На С2, линии пересечения, z = –y2. В точке O угловой коэффициент кривой С2 равен fўy(0,0) = 0. Так как касательные к С1 и С2 являются осями х и у, касательная плоскость, содержащая их, есть плоскость z = 0.

Однако в окрестности начала координат наша поверхность не находится по одну сторону от касательной плоскости. Действительно, кривая С1 всюду, за исключением точки 0, лежит выше касательной плоскости, а кривая С2 – соответственно ниже ее. Поверхность пересекает касательную плоскость z = 0 по прямым у = х и у = –х. Про такую поверхность говорят, что она имеет седловую точку в начале координат (рис. 24).

(9.39 Кб)

назад   дальше



МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Касательные
Максимумы и минимумы
Приложения
Производные
Линейные аппроксимации
ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Площади
Основная теорема
Объемы
Первообразные
Функции двух переменных
Частные производные
Более строгое обоснование математического аппарата
Литература

Дополнительные опции

Популярные рубрики:

Страны мира Науки о Земле Гуманитарные науки История Культура и образование Медицина Наука и технология


Добавьте свои работы

Помогите таким же студентам, как и вы! Загрузите в Интернет свои работы, чтобы они стали доступны всем! Сделать это лучше через платформу BIBLIOTEKA.BY. Принимаем курсовые, дипломы, рефераты и много чего еще ;- )

Опубликовать работы →

Последнее обновление -
29/03/2024

Каждый день в нашу базу попадают всё новые и новые работы. Заходите к нам почаще - следите за новинками!

Мобильная версия

Можете пользоваться нашим научным поиском через мобильник или планшет прямо на лекциях и занятиях!