Students.by - это живая энциклопедия белорусского студента (статьи, книги, мультимедиа). Еще мы предлагаем поиск по лучшим полнотекстовым научным хранилищам Беларуси!
|
Максимумы и минимумы. Мы только что показали, что кривая f(x) = 2x x2 стационарна в точке (1,1). Так как f ў(x) = 2 2x = 2(1 x), ясно, что при x, меньших 1, f ў(x) положительна, и, следовательно, y возрастает; при x, больших 1, f ў(x) отрицательна, и поэтому y убывает. Таким образом, в окрестности точки (1,1), обозначенной на рис. 6 буквой М, значение у растет до точки М, стационарно в точке М и убывает после точки М. Такая точка называется «максимумом», поскольку значение у в этой точке превосходит любые его значения в достаточно малой ее окрестности. Аналогично, «минимум» определяется как точка, в окрестности которой все значения y превосходят значение у в самой этой точке. Может также случиться, что хотя производная от f (x) в некоторой точке и обращается в нуль, ее знак в окрестности этой точки не меняется. Такая точка, не являющаяся ни максимумом, ни минимумом, называется точкой перегиба. В качестве примера найдем стационарную точку кривой Производная этой функции равна и обращается в нуль при x = 0, х = 1 и х = 1; т.е. в точках (0,0), (1, 2/15) и (1, 2/15). Если х чуть меньше 1, то f ў(x) отрицательна; если х чуть больше 1, то fў(x) положительна. Следовательно, точка (1, 2/15) максимум. Аналогично, можно показать, что точка (1, 2/15) минимум. Но производная f ў(x) отрицательна как до точки (0,0), так и после нее. Следовательно, (0,0) точка перегиба. Проведенное исследование формы кривой, а также то обстоятельство, что кривая пересекает ось х при f(x) = 0 (т.е. при х = 0 или ) позволяют представить ее график примерно так, как показано на рис. 7. (6.70 Кб)В общем, если исключить необычные случаи (кривые, содержащие прямолинейные отрезки или бесконечное число изгибов), существуют четыре варианта взаимного расположения кривой и касательной в окрестности точки касания Р. (См. рис. 8, на котором касательная имеет положительный угловой коэффициент.)1) По обе стороны от точки Р кривая лежит выше касательной (рис. 8,а). В этом случае говорят, что кривая в точке Р выпукла вниз или вогнута. (5.38 Кб)2) По обе стороны от точки Р кривая расположена ниже касательной (рис. 8,б). В этом случае говорят, что кривая выпукла вверх или просто выпукла.3) и 4) Кривая располагается выше касательной по одну сторону от точки Р и ниже по другую. В этом случае Р точка перегиба.Сравнивая значения f ў(x) по обе стороны от Р с ее значением в точке Р, можно определить, с каким из этих четырех случаев приходится иметь дело в конкретной задаче. |
|