или

Частная производная fў_x(x,y) указывает скорость изменения функции f в точке (x,y) в направлении возрастания х, а fў_y(x,y) – скорость изменения функции f в направлении возрастания у. Скорость изменения функции f в точке (х,у) в направлении прямой, составляющей угол q с положительным направлением оси х, называется производной от функции f по направлению; ее величина представляет собой комбинацию двух частных производных от функции f – по х и по у, и равна

Как мы уже видели в частных случаях, касательная плоскость к поверхности z = f(x,y) в точке (x₀, y₀) имеет уравнение

Если обозначить x – x₀ через dx, а y – y₀ через dy, то уравнение касательной плоскости означает, что изменение dz = z – z₀ в касательной плоскости, когда x изменяется на dx, а у – на dy, равно dz = fў_x(x₀,y₀)dx + fў_y(x₀,y₀)dy. Эта величина называется дифференциалом функции f. Если f имеет непрерывные частные производные, то изменение dz в касательной плоскости почти равно (при малых dx и dy) истинному изменению z на поверхности, но вычислить дифференциал обычно бывает легче.

Уже рассмотренная нами формула из метода замены переменной, известная как производная сложной функции или цепное правило, в одномерном случае, когда у зависит от х, а х зависит от t, имеет вид:

Для функций двух переменных аналогичная формула имеет вид:

Понятия и обозначения частного дифференцирования нетрудно обобщить на более высокие размерности. В частности, в случае если поверхность задана неявно уравнением f(x,y,z) = 0, уравнению касательной плоскости к поверхности можно придать более симметричную форму: уравнение касательной плоскости в точке (x₀,y₀,z₀) имеет вид

Если задана поверхность f(x,y,z) = 0 и мы хотим узнать, что происходит на поверхности, то обычно любые две из трех переменных можно считать независимыми, а третью переменную рассматривать как зависимую от них. Иногда для обозначения частных производных в этом случае используется символ (¶z/¶x)_y, чтобы подчеркнуть, что дифференцирование производится по х, а у считается независимой переменной. Имеем:

эта формула подчеркивает, что мы не можем придать независимый смысл символам ¶x, ¶y, ¶z или рассматривать ¶z/¶x как отношение ¶z к ¶x.

Обратимся теперь к примеру второй задачи, т.е. вычислению объемов.

Пример 6. Найти объем тела, заключенного между поверхностью

и над единичным квадратом, см. на рис. 25.

(7.34 Кб)

Пусть V(x) – объем, ограниченный поверхностью и пятью плоскостями, а именно z = 0, y = 0, y = 1, x = 0 и плоскостью PQRS, перпендикулярной оси х и пересекающей эту ось на расстоянии х от начала координат.

Нетрудно видеть, что производная V ў(x) равна А(x), площади поперечного сечения PQRS. Таким образом,

Но А(x) – площадь под кривой

Следовательно,

где интегрирование проводится по у, а х рассматривается как постоянная. Подставляя (9) в (8), запишем V в виде повторного интеграла

В формуле (10) предполагается, что сначала проводится внутреннее интегрирование. Результат этого интегрирования, выражение [(⁵/₆) – (x²/4)], затем интегрируется по х от 0 до 1. Окончательный результат равен 3/4.

Формулу (10) можно интерпретировать и как так называемый двойной интеграл, т.е. как предел суммы объемов элементарных «клеток». Каждая такая клетка имеет основание DxDy и высоту, равную высоте поверхности над некоторой точкой прямоугольного основания (см. рис. 26). Можно показать, что обе точки зрения на формулу (10) эквивалентны. Двойные интегралы используются для нахождения центров тяжести и многочисленных моментов, встречающихся в механике.

(6.24 Кб)

назад   дальше