Теория меры и интегрирования является важным разделом общей теории математических функций, берущей начало с работ А.Лебега (1906) по теории интеграла. Этот раздел занимается изучением природы основных операций математического анализа. Одна из наиболее важных проблем, которая привела к развитию теории меры и интегрирования, возникла в связи с рядами Фурье. За сто или более лет до Лебега было известно, что тригонометрическим многочленом, дающим наилучшее среднеквадратичное приближение к данной функции, является ряд, порождаемый коэффициентами Фурье данной функции. Иначе говоря, при заданном k,

принимает минимальное значение, если коэффициенты определяются по формулам Фурье:

Однако поскольку определение интеграла было сформулировано в 19 в., вскоре стало ясно, что ряды из синусов и косинусов могут сходиться к функциям, настолько разрывным, что они не интегрируемы; и в этом случае понятие среднеквадратичной аппроксимации становится совершенно бессмысленным. Поэтому потребовалось новое определение интеграла, допускающего более широкий класс интегрируемых функций. В частности, хотелось по возможности расширить понятие предела последовательности интегрируемых функций, зная при этом, что предельная функция также будет интегрируема. (См. также РЯДЫ.)

Теория Лебега. Предложенное в 19 в. определение интеграла в общих чертах сводилось к следующему. Разобьем интервал от a до b точками x_i, так, что a = x₀ < x₁ < x₂ < ... < x_n = b. Пусть Y_i – наименьшая верхняя грань всех значений функции f(x) для x_{i – 1} Ј x Ј x_i, а y_i – наибольшая нижняя грань всех таких значений. Образуем верхнюю и нижнюю суммы:

Если эти верхние и нижние суммы имеют общий предел для любой последовательности разбиений, когда расстояние между точками разбиения стремится к нулю, то функция f(x) называется интегрируемой, а этот общий предел – ее интегралом и обозначается

Если f(x) слишком разрывна, то Y_i и y_i остаются существенно различными для слишком многих интервалов, и тогда верхние и нижние суммы не стремятся к общему пределу. В определении Лебега эта трудность устраняется раз и навсегда тем, что разбивается не область определения функции, а область ее значений, т.е. если c Ј f(x) Ј d при a Ј x Ј b, то точки разбиения выбираются таким образом, чтобы c = y₀ < y₁ < y₂ < ... < y_n = d. Пусть E_i при каждом i будет множеством точек x, таких, что y_{i – 1} Ј f(x) Ј y_i. В общем случае множество E_i будет не интервалом, а некоторым сложно устроенным множеством. Лебег усовершенствовал обобщение понятия длины таким образом, чтобы его можно было применять к множествам E_i в очень широком классе случаев. Эта обобщенная длина получила название меры множества E_i и стала обозначаться m(E_i). Верхняя и нижняя суммы Лебега имеют вид

Когда максимальная из разностей y_i – y_{i – 1} стремится к нулю, эти суммы автоматически стремятся к общему пределу; следовательно f(x) – функция, интегрируемая в смысле Лебега, если только при любом разбиении области ее значений понятие меры применимо к возникающим множествам E_i. (См. также МНОЖЕСТВ ТЕОРИЯ.)

Множества, к которым применимо понятие меры, называются измеримыми, а функция, для которой любое разбиение области значений порождает разбиение ее области определения на измеримые множества, называется измеримой функцией. Одна из основных теорем в теории Лебега утверждает, что каждая ограниченная измеримая функция интегрируема на конечном интервале. С помощью подходящего предельного перехода интеграл в смысле Лебега распространяется на неограниченные функции и на бесконечные интервалы.

Определим меру Лебега. Пусть E – множество, принадлежащее интервалу от a до b. Последовательность интервалов I₁, I₂, I₃, ј, таких, что каждая точка из E принадлежит некоторым интервалам I_n, называется покрытием множества E. Для каждого покрытия множества E открытыми интервалами вычислим сумму их длин; наибольшая нижняя грань всех таких сумм называется «внешней мерой» множества E и обозначается m*(E). Внутренняя мера множества E обозначается m_*(E) и определяется как m_*(E) = b – a – m*C(E), где C(E) – множество всех точек, заключенных между a и b, не принадлежащих E. Множество E измеримо, если его внешняя и внутренняя меры равны; если это так, то m(E) – общее значение m*(E) и m_*(E).

Не все функции измеримы, но класс таких функций все же достаточно обширен, поскольку включает в себя все непрерывные функции, а также все поточечные пределы последовательностей измеримых функций. Последнее очень важно, так как если измеримость переносится на предельную функцию, то в этом случае она переносится и на интегрируемость, и появляется надежда решить проблему рядов Фурье.

назад   дальше