Students.by - это живая энциклопедия белорусского студента (статьи, книги, мультимедиа). Еще мы предлагаем поиск по лучшим полнотекстовым научным хранилищам Беларуси!
 |
 |
|
|
|
|
|
  
|
|
Построение внешних мер. Существует совершенно стандартная процедура построения примеров внешних мер. Задача заключается в следующем: внешняя мера должна быть определена на всех множествах в пространстве, а простой формулы для таких функций обычно не существует. Приходится выбирать гораздо более узкий класс относительно простых множеств, задавать на них конкретную функцию и, пользуясь ею, порождать внешнюю меру. В большинстве случаев не удается представить наглядно ничего, кроме первоначальной функции на основном классе простых множеств; однако можно доказать, что такая функция действительно порождает внешнюю меру, а значит, и меру, и, следовательно, интеграл. Метод построения внешних мер в точности повторяет тот, которым пользовался Лебег и который был описан в нашей статье выше. Суть его сводится к следующему. Пусть t – функция, определенная на некотором классе множеств. Если E1, E2, E3, ... – последовательность множеств, на которых определена t, и если эта последовательность множеств покрывает множество A, то образуем сумму
Тогда m*(A) – по определению наибольшая нижняя грань всех сумм, получаемых указанным способом.
В случае меры Лебега в качестве простых множеств используются открытые интервалы, и функция t, о которой говорилось выше, является длиной; т.е. выбрав для любого открытого интервала t в качестве t (I) его длину и проделав процедуру, описанную в предыдущем абзаце, мы получим внешнюю меру Лебега.
Более общая конструкция состоит в следующем. Минимальный набор требований сводится к тому, чтобы каждое множество можно было покрыть последовательностью множеств, на которых определена t, и чтобы сама функция t всюду была неотрицательна и обращалась в нуль на пустом множестве. Если эти условия выполняются для t, то можно доказать, что описанный метод порождает внешнюю меру. Но если на t наложены только перечисленные выше минимальные условия, то относительно получающейся внешней меры можно извлечь не слишком много информации. Например, нельзя с уверенностью утверждать, что базовые множества, на которых определена t, окажутся измеримыми, а также, что для такого множества t (E) = m*(E). С другой стороны, если удостовериться, что t обладает более тонкой структурой, то относительно внешней меры появляется дополнительная информация. В различных вариантах абстрактной теории меры на функцию, используемую для построения внешней меры, накладываются различные условия. Обычно используются следующие. Предположим, что t определена на кольце множеств (семействе множеств, замкнутом относительно операций взятия разности и конечного объединения). Если t определена на кольце и вполне аддитивна, то множества в кольце оказываются измеримыми, а мера, которая при этом получается, обладает всеми свойствами функции t на кольце. |
|
|
|
