то на E существует интегрируемая функция f(x), такая, что

Аналогичная теорема существует и относительно сходимости в среднем квадратичном, т.е. о сходимости к нулю интеграла от [f_m(x) – f_n(x)]². Отсюда берет начало теорема Рисса – Фишера (1907), дающая ответ на вопрос относительно рядов Фурье, о котором говорилось в начале этой статьи. Именно, если ряд

сходится, то существует функция f(x), квадрат которой интегрируем в смысле Лебега, и такая, что

Значение теории Лебега состоит в том, что она требует выполнения весьма слабых условий для среднеквадратичной сходимости интеграла Лебега. Последовательность функций сходится по мере, если при любом заданном e > 0 мера множества, на котором |f_m(x) – f_n(x)| і e, стремится к нулю при m ® Ґ и n ® Ґ. Классическая теорема, также принадлежащая Лебегу, утверждает, что если последовательность измеримых функций f₁(x), f₂(x), f₃(x), ... сходится по мере на измеримом множестве E и если существует интегрируемая функция g(x), такая, что |f_n(x)| Ј g(x) при всех n, то существует интегрируемая функция f(x), такая, что

Подводя итог, можно сказать, что сходимость по мере вместе с равномерным мажорированием интегрируемой функцией влечет за собой сходимость в среднем.

Со времен Лебега условие равномерного мажорирования удалось заменить более слабым условием. Предположим, что для каждой стягивающейся последовательности E₁, E₂, E₃, ... измеримых множеств из E, не имеющих ни одной общей для всех точки, равномерно по n выполняется соотношение

Тогда из сходимости по мере следует сходимость в среднем на E.

назад   дальше