Students.by - это живая энциклопедия белорусского студента (статьи, книги, мультимедиа). Еще мы предлагаем поиск по лучшим полнотекстовым научным хранилищам Беларуси!
 |
 |
|
|
|
|
|
  
|
|
Интеграл Даниеля. Другой подход к определению интеграла был предложен П.Даниелем в 1917. С тех пор и этот подход стал предметом многочисленных обобщений. Основная идея Даниеля состоит в формальном определении интеграла в терминах его свойств как функции подынтегрального выражения. Ключевыми являются такие свойства как линейность (  ), монотонность (если f Ј g, то  ) ), монотонность (если f ® g, в каком-то принятом смысле, то  ).
Один из вариантов подхода Даниеля заключается в следующем. Рассмотрим ступенчатую функцию на некотором заданном интервале действительной оси. (Ступенчатой называется функция, постоянная на каждом из конечного множества интервалов, в силу чего ее график напоминает ступени лестницы.) Каждой ступенчатой функции f поставим в соответствие число I(f); потребуем, чтобы функция I была линейной, монотонной и непрерывной (предположим, что I(af + bg) = aI(f) + bI(g) для любых ступенчатых функций f и g и любых чисел a и b). Потребуем также, чтобы I(f) Ј I(g), если f Ј g, и чтобы I(fn) ® I(f), если ступенчатые функции fn монотонно стремятся к ступенчатой функции f. Пусть M – наименьший класс функций на выбранном интервале, содержащий все ступенчатые функции и замкнутый относительно операции взятия монотонных пределов. Назовем M – классом измеримых функций. Можно показать, что существует единственное расширение функции I с множеством ступенчатых функций на весь класс M, которое остается линейным, монотонным и непрерывным на M. Этот расширенный оператор, который переводит функцию в число, называется интегралом.
В подходе Даниеля интеграл рассматривается всего лишь как функция подынтегрального выражения, поэтому в результате мы получаем интеграл от f, но о том, по какому множеству проводится интегрирование, ничего не говорится. Если в теории Даниеля и приходится по чему-нибудь интегрировать, так это по всему базисному интервалу, и то, что в теории Лебега называлось бы интегралом от f по E, в теории Даниеля есть интеграл от f, умноженный на функцию, равную I на E и 0 вне E. Интеграл Даниеля определяется без использования меры, однако с его помощью можно получить саму теорию меры. Различие состоит в том, что здесь мера выводится из интеграла, а не наоборот. Допустим, что некоторый класс измеримых функций и интеграл могут быть определены указанным выше образом. Множество E из базового интервала считается измеримым, если его характеристическая функция (функция, равная I на E и 0 вне E) принадлежит классу измеримых функций. Тогда меру множества E можно определить как интеграл от характеристической функции множества E. Таким образом, в подходе Даниеля возникает вся та теория, которая в другом порядке развертывается в подходе Лебега.Наконец, следует отметить, что на множестве ступенчатых функций может быть задано много различных линейных, монотонных, непрерывных функционалов, каждый из которых приводит к другому понятию интеграла и последующему понятию меры. Но если за I(f) принять площадь под графиком функции f, то подход Даниеля просто воспроизводит интеграл Лебега и меру Лебега. |
|
|
|
