Исходным пунктом одной из таких абстрактных теорий стало аксиоматическое задание внешней меры, предложенное К.Каратеодори (1873–1950). Рассмотрим абстрактное пространство S. Предположим, что величина m*(A) определена для любого подмножества A из S. Эта функция множества m* называется «внешней мерой», если она удовлетворяет следующим условиям:

1) m*(f) = 0, если f – пустое множество;

2) m*(A) Ј m*(B), если A содержится в B;

3) если E₁, E₂, E₃, ... – любая последовательность множеств, покрывающих множество E.

Внешняя мера Лебега (описанная выше) обладает этими свойствами, причем оказывается, что для нее эти свойства являются определяющими. Если задана любая m*, удовлетворяющая этим условиям, то измеримость множеств определяется утверждением, что E измеримо, если для любого множества A выполняется соотношение m*(A) = m*(A З E) + m*(A – E). Здесь A З E (пересечение A и E) означает множество точек, принадлежащих одновременно A и E; а A – E – множество точек, принадлежащих A, но не принадлежащих E. Интуитивно измеримое множество воспринимается как «хорошее», и определение Каратеодори говорит о том, что множество E измеримо, если не существует такого множества А, которое бы разделяло Е на две части, внутреннюю и внешнюю, так, что их внешние меры складываются «неправильно». Предложенное Лебегом определение измеримости, использующее внутреннюю меру, – частный случай условия Каратеодори, в котором A = S. Из-за некоторых специальных свойств внешней меры Лебега это условие оказывается достаточным для модели Лебега, но в общем случае требуется проверять измеримость более детально.

Ключевая теорема в теории Каратеодори утверждает, что любая внешняя мера, удовлетворяющая введенным аксиомам, при ограничении только на измеримые множества обладает всеми свойствами, которыми должна обладать мера. Самое важное из этих свойств называется полной аддитивностью. Мера m называется вполне аддитивной, если для любой последовательности E₁, E₂, E₃, ... измеримых множеств, никакие два из которых не имеют общей точки,

(Символ в скобках в левой части равенства означает объединение множеств E_n, т.е. множество точек, принадлежащих по крайней мере одному из множеств E_n.)

Если дана любая вполне аддитивная мера, то затем можно, более или менее следуя Лебегу, определить интеграл, удовлетворяющий основным предельным теоремам, приведенным ранее в этой статье; следуя теории Каратеодори, можно для этих же целей исходить из внешней меры.

назад   дальше