Под «функциями комплексного переменного» обычно принято понимать аналитические (или голоморфные) функции, особый класс функций, представимых степенными рядами. По традиции этот предмет был и в определенной степени продолжает оставаться в самом центре математического анализа; и хотя теория функций комплексного переменного необычайно важна как активно развивающаяся область чистой математики, своим существованием и в значительной мере своим высоким престижем теория функций комплексного переменного обязана успехам в решении проблем прикладной математики в таких областях, как теория дифференциальных уравнений, гидродинамика и теория потенциала. Известная ранее под общим названием «теория функций», эта теория обрела независимое существование в конце 19 в., когда под давлением более строгого истолкования понятий множества, числа, интеграла и производной произошло разделение между теорией функций действительного переменного и теорией функций комплексного переменного.

Богатство и разнообразие теории функций комплексного переменного обусловлено взаимодействием геометрии и анализа. Когда речь заходит о комплексном числе z = x + iy (где i² = –1), мы можем представить его как число, удовлетворяющее правилам алгебры или как точку на декартовой (или комплексной) плоскости с координатами x и y. Производя операции над комплексными числами, мы можем использовать либо алгебраические методы, либо геометрические, либо комбинацию того и другого. Абсолютной величиной или модулем комплексного числа называется положительное действительное число , или расстояние от z до начала координат. Этот двойственный аспект был отмечен и использован К.Гауссом (1777–1855) и Х.Гамильтоном (1805–1865).

Но основной интерес здесь для нас представляют не комплексные числа сами по себе, а комплексные функции. Комплексная функция F, областью определения которой служит множество D комплексной плоскости Z ставит в соответствие каждой точке z из D, вообще говоря, другое комплексное число F(z). Чтобы получить геометрическую интерпретацию такой функции, возьмем вторую комплексную плоскость с точками w = u + iv и отметим точки w = F(z). В результате мы получим новое множество точек (некоторые из которых могут возникать от различных значений z). Новую плоскость w часто считают результатом отображения или преобразования области D (см. рис. 5). Действительную и мнимую части функции F(z) представляют две действительные функции f и y, которые можно рассматривать либо как действительные функции переменной z, либо как действительные функции переменных x и y:

(9.77 Кб)

Например, если каждому z мы ставим в соответствие комплексное число w = F(z) = z², полагая w = u + iv и z = x + iy, выделив отдельно действительную и мнимую части, то получим:

С другой стороны, если F(z) = 2z + 3i , где означает комплексное число x – iy, сопряженное с z, получаем:

Важный класс комплексных функций состоит из полиномиальных функций или многочленов P. Если C₀, C₁, ..., C_n – комплексные числа, то многочлен P определяется как

Простым примером многочленов может служить w = z². Точно также, как мы представили в действительном виде эту простую полиномиальную функцию, мы можем представить и многочлен (4), записав каждый коэффициент c_k в виде a_k + ib_k и произведя умножение. Однако, хотя на первый взгляд отображение (3) имеет более простую структуру, можно показать, что его нельзя записать в виде многочлена.

Такое различие в структуре стало основанием для выделения особого класса функций комплексного переменного, которые получили название аналитических (иногда их также называют голоморфными или моногенными). Идея заключалась в том, чтобы выделить те функции, которые представимы с помощью формул, содержащих z, а не x и y в отдельности (такие функции можно было бы «анализировать» как функции непосредственно от z) аналогично тому, как содержат z многочлены. Класс аналитических функций выбран так, чтобы он содержал все рациональные функции R(z) = P(z)/Q(z), где P и Q – многочлены типа (4); о таких функциях говорят, что они аналитичны на всей плоскости, кроме точек z, в которых Q(z) = 0, так как в этих точках R(z) не определена. Например, функция w = (z² – 1)/(z² + 1) аналитична на всей плоскости, за исключением точек i и -i. Самыми общими аналитическими функциями являются функции, которые получаются взятием соответствующих пределов от рациональных функций. В частности, следуя подходу, предложенному гораздо позднее К.Рунге (1856–1927), функция F(z), определенная в области D, называется аналитической, если можно выбрать подмножество D₀, принадлежащее D, и, задав сколь угодно малую допустимую погрешность e > 0, найти некоторую рациональную функцию R(z), аппроксимирующую функцию F(z) на D₀, так, чтобы |F(z) – R(z)| никогда не превышало e при любом z из D₀.

Более традиционный подход к аналитическим функциям основан на понятии производной. Из математического анализа берется элементарное определение производной и ставится вопрос, может ли функция F иметь комплексную производную Fў, задаваемую такой же формулой, как в анализе, т.е.

Предельный переход здесь понимается применительно к плоскости: говорят, что

существует, если все значения g(z) лежат вблизи A, когда z принадлежит достаточно малой окрестности точки z₀. Математикам начала 18 в. было ясно, что такое дифференцирование осуществимо для многих конкретных функций F, в том числе для многочленов P, задаваемых формулой (4). В этом случае

что полностью согласуется с правилами элементарного математического анализа.

Естественно, что класс всех функций F, для которых возможно дифференцирование, оказался под пристальным вниманием; эти функции получили название моногенных, впоследствии – аналитических функций. Требование дифференцируемости может быть переведено на язык ограничений на действительные функции f и y, составляющие функцию F. Если F(z) = w = u + iv = f(x,y) + iy (x,y), то можно вычислить четыре первые частные производные от f и y, обозначив их f_x, f_y, y_x, y_y или

Расположим эти четыре функции в виде таблицы или матрицы размером 2ґ2:

Можно показать, что из существования производной (5) следует, что матрица (6) должна иметь вид

Соответственно, действительная и мнимая части функции F должны удовлетворять так называемым дифференциальным уравнениям Коши – Римана:

Смысл этих соотношений можно лучше понять, если иметь ввиду, что матрица (6) в данном случае представляет то, что в современном математическом анализе принято называть дифференциалом отображения F и что матрицы вида (7) образуют поле, изоморфное полю комплексных чисел.

Возвращаясь к иллюстративным примерам (2) и (3), мы видим, что соответствующие матрицы имеют вид

Таким образом, мы заключаем, что функция (2) аналитическая, а функция (3) – не аналитическая.

Аналитические функции, более общие, чем многочлены, легко строятся с помощью бесконечных рядов; если |c_n| Ј RⁿA при n = 0, 1, ..., то ряд

сходится в открытом «диске» (области, заключенной внутри окружности) радиуса R с центром в точке b и в этом диске определяет аналитическую функцию. С помощью бесконечного ряда можно определить, например, экспоненциальную и тригонометрические функции

каждая из которых аналитична для любых значениях z на плоскости. Используя операции с бесконечными рядами, можно также вывести тождества

Таким образом, комплексные экспоненциальная и тригонометрические функции удовлетворяют тем же тождествам, что и соответствующие действительные функции в математическом анализе и тригонометрии. Если действительное число e определено как значение экспоненциальной функции

то exp(z) можно принять за определение функции e как для действительных, так и для комплексных z. Из формулы (11) следует, что . В сочетании с надлежащим определением логарифмической функции это позволяет дать вполне приемлемое определение величины a^b для произвольных действительных или комплексных чисел a и b, a № 0.

Большая заслуга в развитии этой области математики принадлежит О.Коши (1789–1857), систематизировавшему массу результатов, которые ранее некритически и формально трактовались в работах Л.Эйлера (1707–1783) и других математиков, и создавшему на этой основе последовательную и удивительно красивую теорию. Однако следующие поколения математиков обнаружили, что многие доказательства Коши неполны. Современную форму теория функций комплексного переменного обрела в работах Б.Римана (1826–1866), К.Вейерштрасса (1815 – 1897) и других математиков. Основным итогом их усилий явилось доказательство полного совпадения класса аналитических функций с классом функций, представимых «локально» (т.е. в окрестности каждой точки) сходящимся степенным рядом. Коэффициенты этого ряда имеют вид c_n = f ⁽ⁿ⁾ (z₀)/n !, а ряд с такими коэффициентами известен в математическом анализе как ряд Тейлора. Доказательство этой эквивалентности, как и многих других важных свойств аналитических функций, опирается на замечательное открытие Коши и Д.Мореры (1856–1909), показавших, что аналитические функции можно задавать не только с помощью производных, но и интегралов; аналитическими являются те непрерывные функции f, для которых интеграл по контуру g на комплексной плоскости

всегда равен нулю для любой достаточно малой простой замкнутой кривой g, лежащей в области D. Причина этого заключена в уравнениях Коши – Римана (8) и в формуле для действительных интегралов, получившей название теоремы Грина в честь Дж.Грина (1792 – 1841). Пусть D₀ – часть области D, ограниченная контуром g. Тогда теорема Грина утверждает, что для произвольных функций A (x, y) и B (x, y)

Применяя ее к двум действительным интегралам, на которые распадается , получаем

и, следовательно,

Этот результат, названный интегральной теоремой Коши, позволяет, в свою очередь, получить интегральную формулу Коши

дающую выражение для дифференцируемой функции во внутренних точках замкнутого контура через значения функции на самом контуре.

Из формулы (12) следует удивительный вывод: если функция f аналитична в области D, то она не только имеет производную f ў, определенную в каждой точке области D, но и эта новая функция f ў также аналитична в D. Продолжая по индукции, мы заключаем, что аналитическая функция обладает производными всех порядков, каждая из которых аналитична. В этом – существенное различие между теориями функций действительного и комплексного переменного: в теории функций действительного переменного функция g может иметь производную gў(x), определенную для всех действительных чисел x, но производная gў(x) может не быть дифференцируемой и даже непрерывной. (Такова, например, g (x) = x² sin(1/x).)

назад   дальше