B

B

ј

, означает «объединение»

– «пересечение» бесконечной последовательности множеств. Наконец,

Подобно тому, как в геометрии для строгой формулировки задачи необходимо построить пространство неопределяемых далее объектов, называемых точками, прямыми и т.д., которые удовлетворяют определенным аксиомам, формулировка вероятностной задачи требует введения пространства, называемого пространством элементарных событий, элементы которого могут быть произвольной природы и различными в разных задачах. (Хотя мы используем геометрический язык, пространство элементарных событий, как правило, не является пространством в обычном смысле; см. также АБСТРАКТНЫЕ ПРОСТРАНСТВА.) Обозначим пространство элементарных событий (или элементарных исходов) через W, его подмножества – через A, B, C, ј и некоторую совокупность подмножеств из W – через . Совокупность подмножеств выбирается, исходя из следующих постулатов: W должно принадлежать ; должно принадлежатьA₁, A₂, ј множеств из совокупности должны принадлежать и ; для каждого A из совокупности должно принадлежать и C (A).

Вероятностная интерпретация этих аксиом заключается в следующем: совокупность Вероятностная интерпретация этих аксиом заключается в следующем: совокупность A₁, A₂, ј, а также достоверное событие W, событие , состоящее в том, что происходят все события A_i, и событие , состоящее в том, что происходит по крайней мере одно событие из A_i, и C(A) – событие, состоящее в том, что событие A не происходит.

Такова первая часть системы аксиом. Остальные аксиомы относятся к действительнозначной функции P (A), которая называется «вероятностью» множества (события) A и определена для любого A из . Она должна удовлетворять условиям: 0 Ј P (A) Ј 1 для любого A из ; P (W) = 1 и если A₁, A₂, ј – последовательность множеств из , такая, что объединение A_i A_j пусто при любом i, отличном от j, то

Самый важный частный случай последнего из перечисленных условий соответствует выбору A₁ = A, A₂ = B, а все остальные A_i = C (W) (пустому множеству). Условие при этом сводится к тому, что пересечение A B – пустое множество. В свою очередь это означает, что A и B не могут происходить одновременно, или что события A и B «взаимоисключающие». Условие

означает, что вероятность наступления одного из двух взаимоисключающих событий равна сумме их вероятностей.

Система, удовлетворяющая принятым аксиомам относительно тройки (W, , P), называется вероятностным пространством и с точки зрения математика является частным случаем системы аксиом современной теории интегрирования или теории меры (см. также ФУНКЦИЙ ТЕОРИЯ).

В вероятностном пространстве (W, , P) может существовать пара (или много пар) событий A и B из , таких, что

О двух событиях A и B, обладающих этим свойством, говорят, что они «независимы». Независимость некоторых пар событий может быть интуитивно очевидной и даже служить своего рода путеводной нитью при построении вероятностного пространства. Так было, когда мы предположили, что вероятность следующих друг за другом исходов последовательных У и Н в серии испытаний равна произведению вероятностей отдельных событий У и Н. В более сложных моделях проверка независимости может быть сопряжена с определенными трудностями, но обычно позволяет по-новому взглянуть на ситуацию, представленную с помощью пространства элементарных событий.

Чтобы проиллюстрировать изложенную выше теорию, рассмотрим задачи, которые были приведены ранее. В качестве пространства элементарных событий для игры в бридж проще всего принять пространство всеx n = взяток, а в качестве – совокупность всех подмножеств из W. В примере с серией испытаний проще всего выбрать за множество всех серий длины n, состоящих из двух символов, а в качестве – снова совокупность всех подмножеств из W. Таким образом, любое событие определяется тем, что происходит при одном или нескольких из n испытаний из . Тем не менее такого конечного пространства элементарных событий недостаточно для описания всех возможных случаев. Чтобы пояснить это обстоятельство, приведем несколько примеров.

Пример 1. Найти вероятность наступления первого У после k испытаний. Заметим, что ни одно конечное пространство элементарных событий не охватывает все k. Однако можно построить бесконечное пространство элементарных событий, которого будет достаточно для любого k. (В этом случае W состоит из всех возможных бесконечных последовательностей У и Н, но оказывается очень сложным.) Пусть p – вероятность того, что первый исход У наступает при k-м испытании. Можно показать, что p = (1 – p)^{k – 1}p. Кроме того, используя бесконечное пространство элементарных событий, можно показать, что наступление рано или поздно У – достоверное событие, если p > 0. Это обстоятельство находит отражение в том, что . Решение нашей задачи о вероятности того, что первый исход У наступает после k испытаний, дается формулой

Пример 2. Найти вероятность того, что при некотором k происходит «выравнивание», т.е. число исходов У становится равным числу исходов Н. В этой задаче бесконечное пространство элементарных событий работает уже на «всю мощь», так как в любом конечном пространстве элементарных событий такое явление, как наступление рано или поздно выравнивания, не наблюдается. Можно показать, что вероятность происходящего в конце концов выравнивания равна 1 – 1 – 2p. Отсюда мы заключаем, что такое выравнивание достоверно тогда и только тогда, когда вероятности У и Н равны.

С предыдущими задачами тесно связана важная вероятностная модель, известная под названием «случайного блуждания» на целых числах. Наглядно это можно представить так: частица, которая при t = 0 находится в точке 0, совершает скачок (переход) в момент времени 1 либо в точку +1 (с вероятностью p), либо в точку –1 (с вероятностью (1 – p)). Следовательно, если частица в момент времени n оказывается в точке k, то в момент времени n + 1 она с вероятностью p переходит в точку k + 1 и с вероятностью 1 – p – в точку k – 1. Из примера 2 следует, что возвращение в исходную точку достоверно тогда и только тогда, когда p = 1/2 т.е. в случае т.н. симметричного случайного блуждания. Модификации и обобщения задачи о случайном блуждании представляют интерес не только в задачах, связанных с азартными играми (состояние в момент времени n в таких задачах можно интерпретировать как денежную сумму, которой располагает игрок в этот момент времени; можно поинтересоваться, например, какова вероятность, что игрок выиграет некоторую сумму денег прежде, чем проиграет свой начальный капитал); случайные блуждания имеют первостепенное значение для т.н. последовательного статистического анализа, самой общей теории проверки статистических гипотез.

Некоторые из описанных выше случайных явлений могут быть естественным образом представлены действительнозначными величинами, такими как X – количество исходов У в серии из n испытаний или Y – количество испытаний до наступления первого исхода У в той же серии испытаний. Важнейшее достижение аксиоматической формулировки теории вероятностей состоит в том, что она предлагает простой способ изучения таких величин, называемых случайными величинами. Случайные величины можно определить как функции, заданные на пространстве элементарных событий (действительно, для каждой точки пространства W случайная величина X имеет заданное значение), и производить над ними многие обычные операции математического анализа, такие как сложение, умножение и даже интегрирование. Интеграл от случайной величины Z (принимающей целочисленные значения) можно определить как сумму

E(Z) называется «математическим ожиданием» случайной величины Z. Например, определенные выше случайные величины X и Y имеют математические ожидания

На интуитивном уровне понятие случайной величины достаточно ясно, так что оно довольно часто возникает еще до построения пространства элементарных событий. Ученый может заниматься изучением некоторой величины X, значения которой случайны либо из-за наличия экспериментальной ошибки (как в физических измерениях), либо потому, что эксперимент проводится на одном случайно выбранном элементе некоторой совокупности, состоящей из многих аналогичных элементов (например, рост какого-либо представителя расово однородной популяции взрослых или срок службы одного из изделий, выбранных из партии изделий массового производства, например плавких предохранителей, произведенных в одинаковых условиях). Возникает необходимость построить пространство элементарных событий, содержащее любое событие вида X Ј x, где x принимает действительные значения. Это можно сделать, и вероятность такого события F (x) = P {X Ј x} называется функцией распределения случайной величины X. Понятие функции распределения играет важную роль, поскольку позволяет определить математическое ожидание случайной величины X через F (x) с помощью интегрирования. Дисперсия случайной величины X определяется как

и служит удобной мерой разброса, так как равна нулю тогда и только тогда, когда случайная величина X постоянна.

Две случайные величины X₁ и X₂, определенные на одном и том же пространстве элементарных событий, называются «независимыми», если каждое событие вида X₁ Ј x не зависит от любого события вида X₂ Ј x, где x – любое действительное число. Важное значение имеют следующие теоремы: для любых двух случайных величин с конечными математическими ожиданиями

для любых двух независимых случайных величин с конечными дисперсиями

и, наконец, неравенство Чебышева, которое утверждает, что при любом e < 0

Помимо грубой оценки вероятности больших отклонений, это неравенство лежит в основе доказательства закона больших чисел, который мы сформулируем в следующем разделе.

назад   дальше