Современная теория вероятностей, подобно другим разделам математики, например геометрии, состоит из результатов, выводимых логическим путем из некоторых основных утверждений, или аксиом, и приложений к ситуациям в реальной жизни, относительно которых предполагается, что они согласуются с аксиомами. Трудность теории вероятностей заключается в том, что объекты, составляющие предмет ее изучения, носят гораздо более общий характер и поэтому не столь наглядны, как, например, объекты геометрии или механики. Теория вероятностей занимается изучением событий и их вероятностей, представляемых числами, заключенными в интервале от 0 до 1. В случае исторически знаменитых задач, связанных с азартными играми, можно интуитивно понять, как должна быть сформулирована соответствующая математическая задача. Такая задача обычно имела следующий вид: заданы вероятности некоторых элементарных событий; требуется вычислить вероятность какого-нибудь более сложного события, связанного с элементарными событиями некоторым простым образом. Прежде чем мы более подробно представим современную теорию, полезно проиллюстрировать интуитивную теорию и ее методы на примере.

Вычислим вероятность того, что некоторому игроку в бридж достанется один или несколько тузов. В качестве элементарных событий удобно рассматривать получение на руки возможных вариантов из 13 карт. Необходимо, чтобы распределение вероятностей между наборами имеющихся у игроков карт, т.е. элементарными событиями, отражало наше убеждение в том, что карты сдавались весьма специальным образом, а именно случайно. Постулат, который мы примем, сводится к определению того, что мы понимаем под случайной сдачей карт. Мы постулируем, что любой набор из 13 карт, который может достаться игроку при раздаче, равновероятен. Какова эта вероятность? Ответ на этот вопрос может дать интуитивно очевидный принцип, служащий основным методом теории вероятностей: если имеется несколько взаимоисключающих событий (таких, что каждый раз происходит только одно из них), то вероятность того, что произойдет по крайней мере одно из них, равна сумме вероятностей каждого из событий в отдельности. Кроме того, потребуем, чтобы вероятность события, которое заведомо происходит, была равна единице.

Сделанные замечания позволяют решить нашу задачу. Пусть n – число различных вариантов наборов карт, которые может получить игрок, A₁, A₂, ј, A_n – события, соответствующие получению каждого из этих наборов, и P(A₁), P(A₂), ј, P(A_n) – вероятности этих событий. Пусть A – событие, состоящее в том, что игрок получает набор карт, содержащий один или несколько тузов, и m – число наборов из 13 карт, каждый из которых содержит один или несколько тузов, B₁, B₂, ј, B_m – события, соответствующие получению такого набора. Тогда A – событие, состоящее в том, что наступает одно из множества событий B₁, B₂, ј, B_m. Наконец, пусть P (A) – вероятность события A. Так как события A₁, A₂, ј, A_n равновероятные и взаимоисключающие, причем одно из них достоверно происходит, то

и, следовательно,

Аналогично,

в силу чего окончательно получаем

Этот результат сводит исходную задачу к чисто комбинаторной задаче нахождения чисел m и n. Последняя легко решается с помощью теории перестановок и сочетаний, некогда бывшей существенной частью теории вероятностей, но ныне таковой не являющейся. Число n есть просто число способов, которыми можно выбрать 13 карт из 52. Используя стандартные обозначения, находим

Вместо числа m проще найти число (n – m) – число наборов из 13 карт, не содержащих ни одного туза, или число способов, которыми можно выбрать 13 карт из 48:

Следовательно,

Было бы ошибкой полагать, что решение любой вероятностной задачи всегда можно представить в виде простого отношения двух чисел вида P (A) = m/n. Приведенное рассуждение показывает, что такое отношение (числа благоприятных случаев к общему числу случаев) выражает вероятность, которую требуется найти, если элементарные события равновероятны.

По-видимому, наиболее важной ситуацией, в которой изложенный выше метод неприменим, является биномиальное распределение вероятностей. Представим себе, что некоторое испытание проводится n раз, причем каждый раз его исход может быть либо благоприятным У («успех»), либо неблагоприятным Н («неудача»). Элементарными событиями можно считать все возможные последовательности У и Н (их общее число равно 2ⁿ), каждая такая последовательность содержит n символов. В этом случае вероятности элементарных событий невозможно вывести из постулата о равновероятности всех последовательностей из n символов, содержащих одинаковое количество У и Н. Их невозможно получить и из дополнительного постулата о том, что вероятность отдельного благоприятного исхода равна p, а вероятность одного неблагоприятного исхода равна 1 – p. Необходимо также в явном виде указать, каким образом вероятность будущих исходов испытаний зависит от прошлых исходов. Простейшее предположение состоит в том, что будущие исходы не зависят от прошлых, что довольно часто встречается на практике. Его можно формально выразить, постулировав, что вероятность любой заданной последовательности У и Н равна произведению вероятностей отдельных исходов. При таких предположениях вероятность, например, последовательности исходов УУУНУНН равна p⁴(1 – p)³. Нетрудно показать, что в общем случае вероятность получения ровно k благоприятных исходов в n испытаниях равна

Рассматриваемые нами простые методы и идеи решают большой круг различных задач, имеющих практическое значение почти во всех областях современной жизни. Например, теория статистического выборочного метода служит основой столь разных приложений, как опросы общественного мнения и контроль качества продукции на современных промышленных предприятиях. В современном естествознании простые комбинаторные задачи теории вероятностей занимают центральное место в кинетической теории газов, в классической (менделевской) и современной генетике.

Наконец, невозможно переоценить внутренние связи теории вероятностей с другими областями математики. В 1908 Э.Борель опубликовал работу, имевшую важное значение для последующего развития теории вероятностей. В этой работе он показал, что задачу о последовательных независимых испытаниях, которую мы рассматривали выше, можно интерпретировать как задачу из теории чисел. Если произвольное действительное число x, лежащее между 0 и 1, разложить в двоичную дробь, то цифры такого разложения (нули и единицы) ведут себя так же, как символы У и Н, о которых шла речь выше: они имеют вероятности p = ¹/₂ и независимы. (Результат Бореля, грубо говоря, состоит в том, что в двоичном разложении почти любого числа x доли нулей и единиц равны.) Как это часто бывает в науке, связь, установленная между, казалось бы, далекими друг от друга теориями, оказалась необычайно ценной. Работа Бореля способствовала построению современной аксиоматической теории вероятностей, предложенной 20 годами позднее А.Н.Колмогоровым, которую мы рассмотрим в следующем разделе. Затем будет показано, каким образом теория вероятностей позволяет проверять адекватность данной модели той реальной ситуации, которую она призвана представлять. Ответ на этот вопрос дается с помощью закона больших чисел, который был поставлен Борелем на прочный и не вызывающий сомнений фундамент. И в заключение мы рассмотрим временные последовательности случайных событий (стохастические процессы).

назад   дальше