Мартингалы. Эти процессы сохраняют достаточно свойств цепей Маркова, чтобы для них оставались в силе важные эргодические теоремы. От цепей Маркова мартингалы отличаются тем, что когда текущее состояние известно, только математическое ожидание будущего, но необязательно само распределение вероятностей, не зависит от прошлого. Помимо того, что теория мартингалов представляет собой важный инструмент для исследования, она обогатила новыми предельными теоремами теорию случайных процессов, возникающих в статистике, теории деления атомного ядра, генетике и теории информации.

Стационарные процессы. Самая старая из известных эргодических теорем (сформулированная Дж.Биркгофом и Дж.фон Нейманом в 1930) может быть интерпретирована как результат, описывающий предельное поведение стационарного случайного процесса. Такой процесс обладает тем свойством, что все вероятностные законы, которым он удовлетворяет, остаются инвариантными относительно сдвигов по времени. Эргодическую теорему, впервые сформулированную физиками в качестве гипотезы, можно представить как утверждение о том, что при определенных условиях среднее по ансамблю совпадает со средним по времени. Это означает, что одну и ту же информацию можно получить из долговременного наблюдения за системой и из одновременного (и одномоментного) наблюдения многих независимых копий той же самой системы. Закон больших чисел есть не что иное, как частный случай эргодической теоремы Биркгофа. Интерполяция и предсказание поведения стационарных гауссовских процессов, понимаемых в широком смысле, служат важным обобщением классической теории наименьших квадратов. Теория стационарных процессов – необходимое орудие исследования во многих областях, например, в теории связи, которая занимается изучением и созданием систем, передающих сообщения при наличии шума или случайных помех.

назад