В очень простых ситуациях интуитивно ясно, каким образом можно приписать вероятности отдельным событиям. Например, если в коробку положить 8 красных и 2 белых фишки для игры в покер и хорошенько потрясти ее, то представляется более вероятным, что, извлеченная из коробки, наудачу, фишка окажется красной; и действительно, вероятность извлечь красную фишку в четыре раза больше вероятности извлечь белую фишку. Так как это испытание (извлечение из коробки первой фишки) имеет 10 возможных исходов, из которых 8 приходится на долю красных фишек, то доля благоприятных исходов подсказывает, что вероятность извлечь красную фишку составляет 8/10 или 4/5. Ту же самую ситуацию нередко формулируют иначе, говоря, что шансы вынуть красную фишку равны 4 к 1; шансы p к q означают, что какое-то событие происходит с вероятностью p/(p + q). Аналогично при бросании симметричной игральной кости выпадению любой грани естественно приписать вероятность 1/6, а если мы бросаем симметричную монету, то любой из исходов – выпадение «орла» или «решки» – имеет вероятность 1/2.

Но стоит перейти к более сложным событиям, как помощь со стороны интуиции становится менее надежной. Предположим, что мы бросаем две симметричные монеты. Существуют три возможных исхода: два «орла», две «решки» или «орел» и «решка». Большинство людей, поразмыслив, согласятся с тем, что этим исходам нельзя приписывать одну и ту же вероятность, поскольку два «орла» могут выпасть только в том случае, если первая монета выпадет вверх «орлом» и вторая монета также выпадет вверх «орлом», в то время как комбинация «орел» и «решка» возможна и если первая монета выпадет вверх «орлом», а вторая – вверх «решкой», и если первая монета выпадет вверх «решкой», а вторая – вверх «орлом». Короче говоря, анализ показывает, что трем возможным исходам бросаний двух монет следует приписать вероятности 1/4, 1/4 и 1/2. Корректность такого подхода можно подтвердить бросанием реальных монет в той же степени, в какой физические эксперименты подтверждают большинство законов природы. В более сложных ситуациях интуиция окончательно отказывает, и для того, чтобы правильно приписать ту или иную вероятность сложному событию, требуется некий математический инструмент ее подсчета. Вычисление вероятностей тесно связано с комбинаторным анализом, посвященным подсчету числа способов, которыми можно разместить те или иные объекты, или количества тех или иных событий, которые могут произойти при различных условиях.

Элементарные вероятности определяются отношением числа случаев, при которых происходит интересующее нас событие (благоприятный исход), к общему числу случаев. Например, две игральные кости могут выпасть 36 способами, из которых только в 6 случаях сумма выпавших очков равна 7, поэтому вероятность выпадения 7 очков на двух костях равна 1/6.

Два события, которые не могут происходить одновременно, называются взаимоисключающими. Например, при однократном бросании игральной кости 5 очков и 6 очков одновременно выпасть не могут. Вероятность того, что произойдет одно или другое взаимоисключающее событие, равна сумме вероятностей этих событий. Например, вероятность того, что при однократном бросании кости выпадет либо 5, либо 6 очков, равна 1/6 + 1/6 = 1/3.

Вероятность достоверного события (которое заведомо наступит) принимается равной 1, а вероятность события, наступление которого невозможно, считается равной 0. Очевидно, что наступление и ненаступление данного события взаимно исключают друг друга, а потому, если вероятность наступления какого-нибудь события равна p, то вероятность его ненаступления будет 1 – p. Однако в более сложных задачах, когда число возможных исходов бесконечно велико, вероятность нельзя задать с помощью простого перечисления всех возможных случаев. Например, если мы представим себе испытание, состоящее в бесконечной серии бросаний симметричной монеты, то ситуация, когда во всех бросаниях выпадают только «орлы», в принципе не невозможна, хотя такому исходу необходимо приписать вероятность, равную 0, так как в высшей степени «невероятно», чтобы в любой достаточно длинной серии бросаний выпадали только «орлы».

Для детального анализа вероятностных задач, более сложных, чем простые азартные игры, необходима более строгая и абстрактная формулировка. Именно она и будет рассмотрена ниже.

Основной принцип комбинаторного анализа гласит: если что-либо одно можно осуществить m способами, а нечто другое – n способами, то эти действия последовательно можно осуществить mґn способами. Например, обычно торшеры выпускаются с одной большой лампой, которая может работать в трех режимах или быть выключенной, и тремя лампами поменьше, которые можно включать по 0, 1, 2 или 3. Таким образом, у торшера всего 4ґ4 = 16 рабочих режимов (в одном из них все лампы выключены), поэтому правильнее было бы говорить, что торшер можно включать 15-ю различными способами, а не 16-ю, как иногда пишут в рекламных объявлениях.

Четверых людей можно выстроить в ряд 4ґ3ґ2ґ1 = 24 способами, так как первого можно выбрать 4 способами, второго – 3 способами, третьего – 2 способами, а четвертого – только одним. Но четырех людей можно посадить в четыре автобуса 4ґ4ґ4ґ4 = 256 способами, так как каждый из них может сесть в любой из четырех автобусов.

дальше