Любое размещение предметов, порядок которых не имеет значения, называется сочетанием. Из набора чисел 1, 2, 3, 4, 5 можно извлечь десятью различными способами любые два числа, если мы условимся не различать пары, состоящие из одних и тех же чисел, взятых в различном порядке, т.е., например, не различать 1, 2 и 2, 1. Если из двенадцати человек нужно выбрать комитет в составе девяти членов, то это можно сделать столькими способами, сколько сочетаний из двенадцати по девять мы можем составить. Это, естественно, относится к случаю, когда сам порядок размещения членов внутри комитета несуществен. Однако число разных баскетбольных команд, которые можно составить из тех же двенадцати человек, равно числу перестановок из девяти элементов, которые можно набрать из этих двенадцати, так как в баскетбольной команде каждый игрок имеет свой номер. Вторая задача для анализа проще: существуют 12ґ11ґ10ґ9ґ8ґ7ґ6ґ5ґ4 перестановок, так как первый номер можно выбрать 12 различными способами, второй номер – 11 способами и т.д., пока мы не дойдем до последнего, девятого, номера, который может быть выбран четырьмя способами. В первой задаче любая из 9! перестановок девяти членов комитета приводит к одному и тому же составу комитета, так как состав комитета не зависит от того, в каком порядке перечислять его членов; иначе говоря, число перестановок 12ґ11ґ10ґ9ґ8ґ7ґ6ґ5ґ4 дает ответ, который в 9! раз больше, чем нужно. Следовательно, число сочетаний из двенадцати человек по девять равно указанному произведению, деленному на 9!, или

В общем случае число сочетаний из n по r равно n (n – 1)(n – 2) ј (n – r + 1)/r! или n!/r!(n – r)! Это число называется биномиальным коэффициентом (см. также НЬЮТОНА БИНОМ).

Еще один полезный принцип состоит в утверждении, что n предметов можно разложить в r коробок rⁿ различными способами, если в любой коробке может находиться любое число предметов. Чтобы убедиться в этом, заметим, что первый предмет можно положить в любую из r коробок, после чего второй предмет также можно положить в любую из r коробок и т.д. Таким образом, n предметов можно разложить способами. Обратимся теперь к некоторым приложениям этих принципов. 1) Какова вероятность выпадения ровно двух шестерок при пяти бросаниях игральной кости (или, что то же, при одном бросании пяти костей)? Пять костей могут выпасть 6⁵ способами. Две кости, на которых выпали шестерки, можно выбрать способами (сочетания появляются потому, что порядок, в котором выпадают шестерки, несуществен), т.е. (5ґ4ґ3ґ2ґ1)/((2ґ1) ґ (3ґ2ґ1)) = 10 способами. Нешестерки (их 5: 1, 2, 3, 4 и 5 очков) на остальных 3 костях могут выпасть 5³ способами. Следовательно, мы получаем ровно две шестерки из пяти бросаний 10ґ5³ способами; искомая вероятность, таким образом, равна 10ґ5³/6⁵ или 1250/7776, т.е. ок. 1/6. Вероятность выпадения не менее двух шестерок при пяти бросаниях кости несколько больше; она равна сумме вероятностей взаимоисключающих событий – выпадения ровно 2, 3, 4, 5 или 6 шестерок при 5 бросаниях.

2) Какова вероятность получить ровно два туза, если из колоды, состоящей из 52, извлекаются 5 карт? Извлечь из колоды 5 карт можно способами. Пять карт, из которых два туза, а остальные три – нетузы, можно получить, извлекая два туза способами, а три нетуза – способами. Искомая вероятность равна

Последовательное применение такого рода рассуждений иногда приводит к удивительным заключениям.

3) Какова вероятность совпадения дней рождения по крайней мере у двух из 23 случайно выбранных людей? Если предположить, что существует 365 равновероятных возможных дней рождения, то дни рождения 23 людей могут распределиться (365)²³ способами. Число способов, которыми можно распределить по дням года не совпадающие дни рождения 23 людей, равно 365ґ364ґ363ґ ј ґ(365 – 22), так как после того, как мы выберем день года, на который приходится день рождения первого из них, у нас останется только 364 дня для выбора дня рождения второго, и т.д. Вероятность несовпадения всех 23 дней рождения равна отношению второго числа к первому. Вероятность же совпадения по крайней мере двух дней рождения равна 1 минус вероятность полного несовпадения всех 23 дней рождения. Таким образом, ответ нашей задачи равен

что чуть больше 1/2. Если вы выберете наугад 23 (или более) человека, то с большей вероятностью обнаружите, что по крайней мере у двоих дни рождения совпадают, чем то, что все 23 (или более) дня рождения приходятся на различные дни года. Разумеется, вероятность того, что дни рождения двух людей приходятся на 4 июля или на какой-нибудь другой заранее выбранный день, гораздо меньше.

4) Если n писем разложить наугад в n конвертов (по одному письму в конверт), то какова вероятность того, что по крайней мере одно письмо попадет в конверт с правильным адресом? Легче найти вероятность того, что ни одно письмо не попадет в конверт с правильным адресом, а затем вычесть ее из 1. Разложить n писем в n конвертов можно n! способами. Из этого общего числа способов необходимо вычесть число тех вариантов, при которых первое письмо попадает в 1-й конверт, все способы, при которых второе письмо попадает во 2-й конверт и т.д. Письмо, которое будет вложено в конверт с правильным адресом, можно выбрать n способами; остальные n – 1 письмо можно вложить в n – 1 конверт (n – 1)! способами, поэтому общее число вариантов размещения писем по конвертам равно nґ(n – 1)! = n! Вычитая это число из общего числа возможных вариантов размещения писем по конвертам, равного n!, мы не оставляем ни одного варианта. Но в действительности мы вычитаем слишком много, так как вариант, в котором, например, первое письмо попадает в 1-й конверт, а второе письмо – во 2-й, мы вычитаем дважды. Чтобы найти, сколько вариантов мы вычли слишком большое число раз, заметим, что существует C_n² = n (n – 1)/2! пар писем, и если письма, образующие пару, вложены в конверты с правильными адресами, то остальные n – 2 письма можно распределить по конвертам [n (n – 1)/2!]ґ[ (n – 2)!] способами, т.е. n!/2! способами. Прибавив число способов распределения писем в конверты, при которых два письма вложены в свои конверты, мы получим всего n! – n! + n!/2! вариантов размещения писем по конвертам. Но теперь это слишком много, так как все варианты, при которых в свои конверты вложены три письма, не были учтены (мы вычли число таких вариантов трижды, а затем прибавили его столько раз, сколько пар писем можно образовать из трех писем, т.е. тоже три раза). Следовательно, мы должны вычесть число способов, которыми можно вложить в конверты с правильными адресами три письма, т.е. C_n³ґ(n – 3)! = n!/3! способов. Далее надлежит учесть, что мы вычли слишком много раз число способов, которыми можно вложить в конверты с правильными адресами четыре письма и т.д. Таким образом, число способов, которыми письма можно разложить по конвертам так, что ни одно письмо не окажется в конверте с правильным адресом, равно n! – n! + n!/2! – n!/3! +... + (–1)^{n + 1}n!/n!, а вероятность этого события равна этому числу, деленному на n!, т.е. равна числу 1 – 1 + 1/2! – 1/3! +... + (–1)^{n + 1} 1/n! Следовательно, вероятность того, что по крайней мере одно письмо окажется в конверте с правильным адресом равна

При больших значениях n эта величина почти не зависит от n и равна 0,632 (с точностью до трех цифр после запятой) при n і 6; 0,633 при n = 5; 0,625 при n = 4 и 0,667 при n = 3. Таким образом (переходя к другой, аналогичной задаче), если выкладывать по одной на стол карты из двух тщательно перетасованных колод, то выкладываемые на стол карты совпадут с вероятностью почти 2/3 по крайней мере один раз. Это утверждение верно, если в каждой колоде более двух карт.

назад   дальше