Рассмотрим пример. Пусть S_n – число благоприятных исходов в серии из n независимых испытаний, причем вероятность каждого благоприятного исхода равна p. Так называемый слабый закон больших чисел (сформулированный Я.Бернулли и опубликованный в «Искусстве предположений» в 1713 его братом И.Бернулли) утверждает, что при любом e > 0

Эту теорему можно обобщить, если представить S_n как сумму независимых случайных величин

где X_k равна 1 или 0 в зависимости от того, будет ли исход k-го испытания благоприятным или неблагоприятным. Кроме того,

что позволяет записать теорему Бернулли в виде

при любом e > 0.

Известно, что этот результат остается в силе для произвольной последовательности X₁, X₂, ... таких независимых случайных величин с конечным математическим ожиданием. Следовательно, математическое ожидание случайной величины можно оценить со сколь угодно малой вероятностью ошибки, превышающей e, с помощью последовательности выборочных средних (X₁ + X₂ + ј +X_n)/n при больших n.

Такого рода задачи относятся к области статистики, которая позволяет ответить и на многие другие вопросы. Располагая достаточно большим числом независимых наблюдений случайной величины X с (неизвестной) функцией распределения F (X), можно оценить F(X) одновременно для всех значений X с произвольно малой вероятностью того, что ошибка при любом значении X превосходит e.

Так как выборочные средние при общих условиях стремятся к некоторому числу (математическому ожиданию), естественно исследовать поведение разности между выборочным средним и математическим ожиданием при больших n. Пусть X₁, X₂, ј – одинаково распределенные независимые случайные величины с математическим ожиданием m и дисперсией s². Тогда величина

имеет математическое ожидание nm и дисперсию ns ². Таким образом, вместо исходной последовательности случайных величин можно изучать последовательность случайных величин

с нулевым математическим ожиданием и дисперсией равной 1. Центральная предельная теорема, частный случай которой был известен еще А.де Муавру в 1732 для независимых случайных величин X_k, принимающих с вероятностью p значение 1 и с вероятностью (1 – p) значение 0, утверждает, что

Функция f(x) называется функцией нормального или гауссовского распределения. Центральная предельная теорема и некоторые ее обобщения справедливы и для неодинаково распределенных случайных величин, что позволяет дать разумное эмпирическое объяснение, почему столь многие явления в окружающем нас мире имеют гауссовское или почти гауссовское распределение. Дело в том, что многие количественные явления представляют собой суммы многих малых независимых или почти независимых случайных величин.

Исторически центральная предельная теорема была первым и, по-видимому, наиболее важным результатом такого типа, однако она дает лишь одно из многих возможных предельных распределений, которые могут быть получены с помощью соответствующей нормировки (стандартизации) сумм или функционал от сумм независимых случайных величин. Наши знания в этой области теории вероятностей далеко не полны.

назад   дальше