(1) В процессе развития алгебры был изобретен способ символической записи, позволявший представлять в сокращенном виде все более сложные соотношения между величинами. В качестве примера тех неудобств, которые возникли бы, не будь такой «скорописи», попробуем передать словами соотношение (a + b)² = a² + 2ab + b²: «Площадь квадрата со стороной, равной сумме сторон двух данных квадратов, равна сумме их площадей вместе с удвоенной площадью прямоугольника, стороны которого равны сторонам данных квадратов».

(2) Создание в первой половине 17 в. аналитической геометрии, давшей возможность любую задачу классической геометрии свести к некоторой алгебраической задаче.

(3) Создание и развитие в период с 1600 по 1800 исчисления бесконечно малых, позволявшего легко и систематически решать сотни задач, связанных с понятиями предела и непрерывности, лишь очень немногие из которых были решены древнегреческими математиками. Более подробно эти ветви математики рассматриваются в статьях АЛГЕБРА; АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ; МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ; ГЕОМЕТРИИ ОБЗОР.

Начиная с 17 в. постепенно проясняется вопрос, который до тех пор оставался неразрешимым. Что такое математика? До 1800 ответ был достаточно простым. В то время четких границ между различными науками не существовало, математика была частью «натуральной философии» – систематического изучения природы методами, предложенными великими реформаторами эпохи Возрождения и начала 17 в. – Галилеем (1564–1642), Ф.Бэконом (1561–1626) и Р.Декартом (1596–1650). Считалось, что у математиков имеется своя собственная область исследования – числа и геометрические объекты и что математики не пользуются экспериментальным методом. Однако Ньютон и его последователи изучали механику и астрономию с помощью аксиоматического метода по аналогии с тем, как была изложена геометрия у Евклида. В более общем плане было признано, что любая наука, в которой результаты эксперимента представимы с помощью чисел или систем чисел, становится областью приложения математики (в физике это представление утвердилось лишь в 19 в.).

Области экспериментальной науки, которые подверглись математической обработке, часто называют «прикладной математикой»; это очень неудачное название, так как ни по классическим, ни по современным стандартам в этих приложениях не существует (в строгом смысле) подлинно математических аргументов, поскольку в них предметом исследования являются нематематические объекты. После того как данные эксперимента переведены на язык чисел или уравнений (такой «перевод» зачастую требует большой находчивости со стороны «прикладного» математика), появляется возможность широкого применения математических теорем; затем результат подвергается обратному переводу и сравнивается с наблюдениями. То, что к процессу такого рода применяется термин «математика», служит одним из источников нескончаемых недоразумений. В «классические» времена, о которых сейчас идет речь, такого рода недоразумений не существовало, поскольку одни и те же люди являлись и «прикладными», и «чистыми» математиками, занимаясь одновременно и проблемами математического анализа или теории чисел, и проблемами динамики или оптики. Однако усилившаяся специализация и тенденция к обособлению «чистой» и «прикладной» математик значительно ослабили ранее существовавшую традицию универсальности, и ученые, которые, подобно Дж.фон Нейману (1903–1957), были способны вести активную научную деятельность как в прикладной, так и в чистой математике, стали скорее исключением, чем правилом.

Какова природа математических объектов – чисел, точек, линий, углов, поверхностей и т.д., существование которых мы считали чем-то само собою разумеющимся? Что означает применительно к таким объектам понятие «истина»? На эти вопросы в классический период были даны вполне определенные ответы. Разумеется, ученые той эпохи отчетливо понимали, что в мире наших ощущений нет таких вещей, как «бесконечно протяженная прямая» или «не имеющая размеров точка» Евклида, как нет «чистых металлов», «монохроматического света», «теплоизолированных систем» и т.д., которыми оперируют в своих рассуждениях экспериментаторы. Все эти понятия – «платоновские идеи», т.е. своего рода порождающие модели эмпирических понятий, хотя и радикально иного характера. Тем не менее молчаливо предполагалось, что физические «образы» идей могут быть сколь угодно близки к самим идеям. В той мере, в какой вообще можно что-либо утверждать относительно близости объектов к идеям, говорят, что «идеи» являются, так сказать, «предельными случаями» физических объектов. С этой точки зрения, аксиомы Евклида и выводимые из них теоремы выражают свойства «идеальных» объектов, которым должны соответствовать предсказуемые экспериментальные факты. Например, измерение оптическими методами углов треугольника, образованного тремя точками в пространстве, в «идеальном случае» должно дать сумму, равную 180°. Иначе говоря, аксиомы поставлены на один уровень с физическими законами, и поэтому их «истинность» воспринимается так же, как истинность физических законов; т.е. логические следствия из аксиом подлежат проверке путем сравнения с экспериментальными данными. Разумеется, согласие можно достичь лишь в пределах ошибки, связанной и с «несовершенным» характером измерительного прибора, и «несовершенной природой» измеряемого объекта. Однако всегда предполагается, что если законы «истинны», то усовершенствования процессов измерения в принципе позволяют сделать ошибку измерения сколь угодно малой.

На протяжении 18 в. находилось все больше подтверждений того, что все следствия, полученные из основных аксиом, в особенности в астрономии и механике, согласуются с данными экспериментов. А поскольку эти следствия получались с использованием существовавшего в то время математического аппарата, достигнутые успехи способствовали укреплению мнения об истинности аксиом Евклида, которая, как говорил Платон, «ясна каждому» и не подлежит обсуждению.

назад   дальше