Сущность метода координат состоит в следующем. На плоскости задаются две взаимно перпендикулярные прямые (координатные оси), пересекающиеся в точке О, называемой началом координат. Одна из них – ось x, или ось абсцисс, обычно выбирается горизонтальной, другая – ось y, или ось ординат, – вертикальной. Справа от O выбирается точка, у которой ставится отметка 1. Если принять отрезок от O до 1 за единицу длины, то откладывая последовательно этот отрезок вдоль прямой, мы получаем числовую ось. Считается, что эта ось продолжается вправо до бесконечности. Точки на оси x слева от O помечаются отрицательными числами, как на шкале термометра. Например, точка -2 расположена от точки O слева на таком же расстоянии, как точка 2 справа. Аналогичным образом с той же единицей длины размечается и ось y. Положительные числа располагаются выше точки O, отрицательные – ниже.

Пусть P – любая точка на плоскости с заданной системой координат, Q – основание перпендикуляра, опущенного из P на ось x, а R – основание перпендикуляра, опущенного из P на ось y. Положение точки P полностью определяется двумя числами, называемыми координатами x и y. Первая координата указывает положение точки Q на оси x, вторая – положение точки R на оси y. На рис. 1 положение точки P полностью определяется ее координатами (2,3).

(4.51 Кб)

Основная задача аналитической геометрии заключается в изучении геометрических фигур с помощью соотношений между координатами точек, из которых эти фигуры образованы. Любую фигуру можно рассматривать как множество точек, удовлетворяющих некоторому геометрическому условию. Это условие можно записать в виде алгебраического уравнения, связывающего координаты x и y каждой точки фигуры. Суть метода аналитической геометрии состоит в изучении свойств фигуры с помощью соответствующего уравнения, исследуемого средствами алгебры. Этот метод позволяет устанавливать геометрические факты систематичным образом, в отличие от традиционной «синтетической» геометрии, где приходилось изобретать методы доказательства для каждого отдельного случая.

Основным инструментом аналитической геометрии служит формула для вычисления расстояния между двумя точками P₁ = (x₁,y₁) и P₂ = (x₂,y₂). Числа x₁, y₁, x₂ и y₂ могут быть любыми действительными числами, положительными, отрицательными или 0. На рис. 2 все числа выбраны положительными. Проведем через точку P₁ горизонтальную прямую, а через точку P₂ – вертикальную. Пусть R – точка их пересечения. Тогда по теореме Пифагора

(4.94 Кб)

откуда

d ² = (x₂ – x₁)² + (y₂ – y₁)².

Это и есть формула для вычисления расстояния между двумя точками.

Важно иметь в виду, что эта формула остается в силе независимо от того, как расположены точки P₁ и P₂. Например, если точка P₂ расположена ниже точки P₁ и справа от нее, как на рис. 3, то отрезок RP₂ можно считать равным y₁ – y₂, а не y₂ – y₁. Расстояние между точками, вычисляемое по формуле, от этого не изменится, так как (y₁ – y₂)² = (y₂ – y₁)². Заметим, что так как величина y₂ в этом случае отрицательна, разность y₁ – y₂ больше, чем y₁, как и должно быть.

(4.66 Кб)

дальше