С появлением неевклидовой геометрии сразу же возникло несколько философских проблем. Поскольку претензия на априорную необходимость аксиом отпала, оставался единственный способ проверки их «истинности» – экспериментальный. Но, как позднее заметил А.Пуанкаре (1854–1912), в описании любого явления скрыто такое множество физических допущений, что ни один эксперимент не может дать убедительного доказательства истинности или ложности математической аксиомы. Кроме того, даже если допустить, что наш мир является «неевклидовым», следует ли из этого, что вся евклидова геометрия ложна? Насколько известно, ни один математик никогда не рассматривал такую гипотезу всерьез. Интуиция подсказывала, что и евклидова и неевклидова геометрии являются примерами полноценной математики.

Математические «монстры». Неожиданно к таким же выводам пришли совершенно с другой стороны – были открыты объекты, повергшие математиков 19 в. в шок и получившие название «математических монстров». Это открытие имеет непосредственное отношение к весьма тонким вопросам математического анализа, возникшим лишь в середине 19 в. Трудности возникли при попытке найти точный математический аналог экспериментальному понятию кривой. То, что было сутью понятия «непрерывного движения» (например, острия чертежного пера, движущегося по листу бумаги), подлежало точному математическому определению, и эта цель была достигнута, когда понятие непрерывности обрело строгий математический смысл (см. также КРИВАЯ) . Интуитивно казалось, что «кривая» в каждой своей точке имеет как бы направление, т.е. в общем случае в окрестности каждой своей точки кривая ведет себя почти так же, как прямая. (С другой стороны, нетрудно представить, что кривая имеет конечное число угловых точек, «изломов», как многоугольник.) Это требование могло быть сформулировано математически, а именно, предполагалось существование касательной к кривой, и до середины 19 в. считалось, что «кривая» имеет касательную почти во всех своих точках, быть может, за исключением некоторых «особых» точек. Поэтому открытие «кривых», не имевших касательной в любой своей точке, вызвало настоящий скандал (см. также ФУНКЦИЙ ТЕОРИЯ). (Читатель, знакомый с тригонометрией и аналитической геометрией, может легко проверить, что кривая, задаваемая уравнением y = x sin (1/x) , не имеет касательной в начале координат, но определить кривую, не имеющую касательной ни в одной своей точке, значительно сложнее.)

Несколько позднее был получен куда более «патологический» результат: удалось построить пример кривой, которая полностью заполняет квадрат. С тех пор были изобретены сотни таких «монстров», противоречивших «здравому смыслу». Следует подчеркнуть, что существование столь необычных математических объектов следует из основных аксиом столь же строго и логически безупречно, как существование треугольника или эллипса. Поскольку математические «монстры» не могут соответствовать никакому экспериментальному объекту, и единственное возможное заключение состоит в том, что мир математических «идей» гораздо богаче и необычнее, чем можно было ожидать, и лишь очень немногие из них имеют соответствия в мире наших ощущений. Но если математические «монстры» логически следуют из аксиом, то можно ли по-прежнему считать аксиомы истинными?

назад   дальше