Еще хуже обстоит дело с «мнимыми», или «комплексными» числами, поскольку в них входит «число» i, такое, что i² = –1, что является явным нарушением правила знаков. Тем не менее математики с конца 16 в. не колеблясь производят вычисления с комплексными числами, как если бы они «имели смысл», хотя 200 лет назад не могли дать определения этих «объектов» или интерпретировать их с помощью какой-либо вспомогательной конструкции, как, например, были интерпретированы с помощью направленных отрезков отрицательные числа. (После 1800 было предложено несколько интерпретаций комплексных чисел, самая известная – с помощью векторов на плоскости.)

Современная аксиоматика. Переворот произошел во второй половине 19 в. И хотя он не сопровождался принятием официальных заявлений, в действительности речь шла именно о провозглашении своего рода «декларации независимости». Конкретнее – о провозглашении де факто декларации независимости математики от внешнего мира.

С этой точки зрения, математические «объекты», если вообще имеет смысл говорить об их «существовании», – чистое порождение разума, и имеют ли они какие-нибудь «соответствия» и допускают ли какую-нибудь «интерпретацию» в физическом мире, для математики несущественно (хотя сам по себе этот вопрос интересен).

«Истинные» утверждения о таких «объектах» – все те же логические следствия из аксиом. Но теперь аксиомы следует рассматривать как совершенно произвольные, и поэтому отпадает необходимость в их «очевидности» или выводимости из повседневного опыта посредством «идеализации». На практике полная свобода ограничена разного рода соображениями. Разумеется, «классические» объекты и их аксиомы остаются без изменений, но теперь их нельзя считать единственными объектами и аксиомами математики, и в повседневную практику вошла привычка выбрасывать или переделывать аксиомы так, чтобы была возможность использовать их различными способами, как это было сделано при переходе от евклидовой геометрии к неевклидовой. (Именно таким образом были получены многочисленные варианты «неевклидовых» геометрий, отличных от евклидовой геометрии и от геометрии Лобачевского – Бойяи; например, имеются неевклидовы геометрии, в которых не существует параллельных прямых.)

Хотелось бы особенно подчеркнуть одно обстоятельство, следующее из нового подхода к математическим «объектам»: все доказательства должны опираться исключительно на аксиомы. Если мы вспомним об определении математического доказательства, то подобное высказывание может показаться повтором. Однако это правило редко соблюдалось в классической математике из-за «интуитивной» природы ее объектов или аксиом. Даже в Началах Евклида, при всей их кажущейся «строгости», многие аксиомы не формулируются явно и многие свойства либо молчаливо предполагаются, либо вводятся без достаточного обоснования. Чтобы поставить евклидову геометрию на прочную основу, понадобился критический пересмотр самих ее начал. Вряд ли стоит говорить о том, что педантичный контроль за мельчайшими деталями доказательства является следствием появления «монстров», научивших современных математиков соблюдать крайнюю осторожность в выводах. Самое безобидное и «самоочевидное» утверждение о классических объектах, например утверждение о том, что кривая, соединяющая точки, расположенные по разные стороны от прямой, непременно пересекает эту прямую, в современной математике требует строгого формального доказательства.

Возможно, покажется парадоксальным утверждение, что именно из-за своей приверженности аксиомам современная математика служит наглядным примером того, какой должна быть любая наука. Тем не менее такой подход иллюстрирует характерную особенность одного из наиболее фундаментальных процессов научного мышления – получения точной информации в ситуации неполного знания. Научное исследование некоторого класса объектов предполагает, что особенности, позволяющие отличать одни объекты от других, умышленно предаются забвению, а сохраняются лишь общие черты рассматриваемых объектов. То, что выделяет математику из общего ряда наук, заключается в неукоснительном следовании этой программе во всех ее пунктах. Считается, что математические объекты полностью определены аксиомами, используемыми в теории этих объектов; или, по словам Пуанкаре, аксиомы служат «замаскированными определениями» тех объектов, к которым они относятся.

назад   дальше