Еще один пример структуры – т.н. структура порядка. Множество E наделено структурой порядка, или упорядочено, если между элементами a и b, принадлежащими E, задано некоторое отношение, которое мы обозначим R (a,b). (Такое отношение должно иметь смысл для любой пары элементов из Е, но в общем случае оно ложно для одних пар и истинно для других, например, отношение 7 < 3 ложно для пары чисел 3 и 7, а отношение 3 < 7 для той же пары чисел истинно.) Отношение обладает следующими свойствами:

(1) R (a,a) истинно для каждого а, принадлежащего Е;

(2) из R (a,b) и R (b,a) следует, что a = b;

(3) из R (a,b) и R (b,c) следует R (a,c).

Приведем несколько примеров из огромного числа разнообразных упорядоченных множеств.

(а) E состоит из всех целых чисел, R (a,b) – отношение «а меньше или равно b».

(b) Е состоит из всех целых чисел >1, R (a,b) – отношение «а делит b или равно b».

(c) Е состоит из всех кругов на плоскости, R (a,b) – отношение «круг a содержится в b или совпадает с b».

В качестве последнего примера структуры упомянем структуру метрического пространства; такая структура задается на множестве Е, если каждой паре элементов a и b, принадлежащих E, можно поставить в соответствие число d (a,b) і 0, удовлетворяющее следующим свойствам:

(1) d (a,b) = 0 в том и только том случае, когда a = b;

(2) d (b,a) = d (a,b);

(3) d (a,c) Ј d (a,b) + d (b,c) для любых трех заданных элементов a, b, c из E.

Приведем примеры метрических пространств:

(a) обычное «трехмерное» пространство, где d (a,b) – обычное (или «евклидово») расстояние;

(b) поверхность сферы, где d (a,b) – длина наименьшей дуги круга, соединяющей две точки a и b на сфере;

(c) любое множество E, для которого d (a,b) = 1, если a № b; d (a,a) = 0 для любого элемента a.

Точное определение понятия структуры довольно сложно. Не вдаваясь в подробности, можно сказать, что на множестве Е задана структура определенного типа, если между элементами множества Е (а иногда и другими объектами, например числами, которые играют вспомогательную роль) заданы отношения, удовлетворяющие некоторому фиксированному набору аксиом, характеризующему структуру рассматриваемого типа. Выше мы привели аксиомы трех типов структур. Разумеется, существуют многие другие типы структур, теории которых полностью разработаны.

С понятием структуры тесно связаны многие абстрактные понятия; назовем лишь одно из наиболее важных – понятие изоморфизма. Вспомним пример групп (b) и (c), приведенных в предыдущем разделе. Нетрудно проверить, что от табл. 1 к табл. 2 можно перейти с помощью соответствия

0 ® 1, 1 ® 2, 2 ® 4, 3 ® 3.

В этом случае мы говорим, что данные группы изоморфны. В общем случае две группы G и Gў изоморфны, если между элементами группы G и элементами группы Gў можно установить такое взаимно однозначное соответствие a « aў, что если c = a*b, то cў = aў*bў для соответствующих элементов Gў. Любое утверждение из теории групп, справедливое для группы G, остается в силе и для группы Gў, и наоборот. Алгебраически группы G и Gў неразличимы.

Читатель без труда убедится, что точно так же можно определить два изоморфных упорядоченных множества или два изоморфных метрических пространства. Можно показать, что понятие изоморфизма распространяется на структуры любого типа.

назад   дальше