Вывести на печать

Положительные действительные числа. Применение чисел для измерения длин отрезков прямых наводит на мысль, что для любых двух данных отрезков прямых AB и CD должен существовать некоторый отрезок UV, возможно, очень малый, который можно было бы отложить целое число раз в каждом из отрезков AB и CD. Если такая общая единица измерения длины UV существует, то отрезки AB и CD называются соизмеримыми. Уже в древности пифагорейцы знали о существовании несоизмеримых отрезков прямых. Классический пример – сторона квадрата и его диагональ. Если принять сторону квадрата за единицу длины, то не найдется такого рационального числа, которое могло бы быть мерой диагонали этого квадрата. Убедиться в этом можно, рассуждая от противного. Действительно, предположим, что рациональное число n/d есть мера диагонали. Но тогда отрезок 1/d можно было бы отложить n раз на диагонали и d раз на стороне квадрата вопреки тому, что диагональ и сторона квадрата несоизмеримы. Следовательно, независимо от выбора единицы длины не все отрезки прямых имеют длины, выражаемые рациональными числами. Чтобы все отрезки прямой можно было измерять с помощью некоторой единицы длины, система счисления должна быть расширена таким образом, чтобы она включала числа, представляющие результаты измерения длин отрезков прямых, несоизмеримых с выбранной единицей длины. Эти новые числа называются положительными иррациональными числами. Последние вместе с положительными рациональными числами образуют более широкое множество чисел, элементы которого называются положительными действительными числами.

Если OR – горизонтальная полупрямая, исходящая из точки O, U – точка на OR, отличная от начала координат O, и OU выбран в качестве единичного отрезка, то каждой точке P на полупрямой OR можно поставить в соответствие единственное положительное действительное число p, выражающее длину отрезка OP. Таким образом мы устанавливаем взаимно однозначное соответствие между положительными действительными числами и точками, отличными от O, на полупрямой OR. Если p и q – два положительных действительных числа, соответствующих точкам P и Q на OR, то мы пишем p > q, p = q или p < q в зависимости от того, расположена точка P справа от точки Q на OR, совпадает с Q или расположена слева от Q.

Введение положительных иррациональных чисел существенно расширило сферу применимости арифметики. Например, если a – любое положительное действительное число и n – любое целое число, то существует единственное положительное действительное число b, такое, что bn = a. Это число b называется корнем n-й степени из a и записывается как , где символ по своим очертаниям напоминает латинскую букву r, с которой начинается латинское слово radix (корень) и называется радикалом . Можно показать, что

Эти соотношения известны как основные свойства радикалов.

С практической точки зрения очень важно, что любое положительное иррациональное число можно сколь угодно точно аппроксимировать положительным рациональным числом. Это означает, что если r – положительное иррациональное число и e – сколь угодно малое положительное рациональное число, то можно найти положительные рациональные числа a и b, такие, что a < r < b и b < a + e. Например, число иррационально. Если выбрать e = 0,01, то ; если же выбрать e = 0,001, то .

назад   дальше



АРИФМЕТИКА
Краткая история арифметики
Механизация арифметических вычислений
Целые положительные числа
Делители целых чисел
Положительные рациональные числа
Положительные действительные числа
Индо-арабская система счисления
Названия чисел
Сложение
Вычитание
Умножение
Деление
Дроби
Квадратный корень
Кубический корень
Алгоритм Евклида
Проверка
Проценты
Арифметика приближенных чисел
Логарифмы
Литература

Дополнительные опции

Популярные рубрики:

Страны мира Науки о Земле Гуманитарные науки История Культура и образование Медицина Наука и технология


Добавьте свои работы

Помогите таким же студентам, как и вы! Загрузите в систему свои работы, чтобы они стали доступны всем! Принимаем курсовые, дипломы, рефераты и много чего еще ;- )

Добавить работы →

Последнее обновление -
05/04/2020

Каждый день в нашу базу попадают всё новые и новые работы. Заходите к нам почаще - следите за новинками!

Мобильная версия

Можете пользоваться нашим научным поиском через мобильник или планшет прямо на лекциях и занятиях!