В качестве числового примера рассмотрим два целых числа 3132 и 7200. Алгоритм в этом случае сводится к следующим действиям:

Наибольший общий делитель совпадает с последним делителем – числом 36. Объяснение просто. В нашем примере мы видим из последней строки, что число 36 делит число 288. Из предпоследней строки следует, что число 36 делит 324. Так, двигаясь от строки к строке вверх, мы убеждаемся в том, что число 36 делит 936, 3132 и 7200. Мы утверждаем теперь, что число 36 есть общий делитель чисел 3132 и 7200. Пусть g – наибольший общий делитель чисел 3132 и 7200. Так как g делит 3132 и 7200, из первой строки следует, что g делит 936. Из второй строки мы заключаем, что g делит 324. Так, спускаясь от строки к строке, мы убеждаемся в том, что g делит 288 и 36. А так как 36 – общий делитель чисел 3132 и 7200 и делится на наибольший общий их делитель, мы заключаем, что 36 и есть этот наибольший общий делитель.

Проверка. Арифметические вычисления требуют постоянного внимания и, следовательно, чреваты ошибками. Поэтому очень важно проверять результаты вычислений.

1. Сложение столбца чисел можно проверить, сложив числа в столбце сначала сверху вниз, а затем снизу вверх. Обоснованием такого способа проверки служит обобщенный закон коммутативности и ассоциативности сложения.

2. Вычитание проверяется путем сложения разности с вычитаемым – должно получиться уменьшаемое. Обоснованием такого способа проверки служит определение операции вычитания.

3. Умножение можно проверить, переставив множимое и множитель. Обоснованием такого способа проверки служит закон коммутативности умножения. Можно проверить умножение, разбив множитель (или множимое) на два слагаемых, выполнив две отдельные операции умножения и сложив полученные произведения – должно получиться исходное произведение.

4. Чтобы проверить деление, надо умножить частное на делитель и к произведению прибавить остаток. Должно получиться делимое. Обоснованием такого способа проверки служит определение операции деления.

5. Проверка правильности извлечения квадратного (или кубического) корня состоит в возведении полученного числа в квадрат (или куб) – должно получиться исходное число.

Особенно простым и весьма надежным способом проверки сложения или умножения целых чисел служит прием, представляющий собой переход к т.н. «сравнениям по модулю 9». Назовем «избытком» остаток от деления на 9 суммы цифр, которыми записано данное число. Тогда относительно «избытков» можно сформулировать две теоремы: «избыток суммы целых чисел равен избытку суммы избытков слагаемых», и «избыток произведения двух целых чисел равен избытку произведения их избытков». Ниже даются примеры проверок, основанных на этой теореме:

Метод перехода к сравнениям по модулю 9 можно использовать и при проверке других арифметических алгоритмов. Конечно, и такая проверка не является непогрешимой, так как и работа с «избытками» подвержена ошибкам, но такая ситуация маловероятна.

Проценты. Процентом называется дробь, у которой знаменатель равен 100; проценты можно записать тремя способами: как обыкновенную дробь, как десятичную дробь или с помощью специального обозначения процентов %. Например, 7 процентов можно записать как 7/100, как 0,07 или как 7%.

Примером самого распространенного типа задач на проценты может служить следующая: «Найти 17% от 82». Чтобы решить эту задачу, нужно вычислить произведение 0,17ґ82 = 13,94. В произведениях такого рода 0,17 называется ставкой, 82 – базой, а 13,94 – долей, выраженной в процентах. Три упомянутые величины связаны между собой соотношением

Ставка ґ база = доля в процентах.

Если любые две величины известны, третью можно определить из этого соотношения. Соответственно мы получаем три типа задач «на проценты».

Пример 1. Число учащихся, записавшихся в данную школу, выросло с 351 до 396 человек. На сколько процентов возросло это число?

Прирост составил 396 – 351 = 45 человек. Записывая дробь 45/351 в процентах, получаем 45/351 = 0,128 = 12,8%.

Пример 2. Объявление в магазине во время распродажи гласит «Скидка на все товары 25%». Какова цена во время распродажи на товар, который обычно продается за 3,60 доллара?

Снижение цены 3,60 доллара на 25% означает снижение на 0,25ґ3,60 = 0,90 доллара; следовательно, цена на товар во время распродажи составит 3,60 – 0,90 = 2,70 доллара.

Пример 3. Деньги, положенные в банк под 5% годовых, принесли прибыль в 40 долларов за год. Какая сумма была помещена в банк?

Так как 5% от суммы составляет 40 долларов, т.е. 5/100 ґ сумма = 40 долларов, или 1/100 ґ сумма = 8 долларов, вся сумма составляет 800 долларов.

назад   дальше