Вывести на печать

Квадратный корень. Если n – положительное действительное число, то существует единственное положительное действительное число r, такое, что r2 = n. Число r называется квадратным корнем из n и обозначается . В школе учат извлекать квадратные корни двумя способами. Первый способ более популярен, поскольку он проще и его легче применять; вычисления по этому методу легко реализуются на настольном калькуляторе и обобщаются на случай кубических корней и корней более высокой степени. Основан метод на том, что если r1 – приближение к корню , то r2 = (1/2)(r1 + n/r1) – более точная аппроксимация корня.

Проиллюстрируем процедуру на примере вычисления квадратного корня из какого-нибудь числа, заключенного между 1 и 100, скажем, числа 40. Так как 62 = 36, а 72 = 49, мы заключаем, что 6 – наилучшее приближение к в целых числах. Более точное приближение к получается из 6 следующим образом. Разделив 40 на 6, получим 6,6 (с округлением до первого после запятой четного числа десятых). Чтобы получить второе приближение к , усредним два числа 6 и 6,6 и получим 6,3. Повторив процедуру, получим еще лучшее приближение. Разделив 40 на 6,3, находим число 6,350, и третье приближение оказывается равным (1/2)(6,3 + 6,350) = 6,325. Еще одно повторение дает 40ё 6,325 = 6,3241106, и четвертая аппроксимация оказывается равной (1/2)(6,325 + 6,3241106) = 6,3245553. Процесс может продолжаться сколь угодно долго. В общем случае каждое следующее приближение может содержать вдвое больше цифр, чем предыдущее. Так, в нашем примере, поскольку первое приближение, целое число 6, содержит только одну цифру, мы можем удерживать во втором приближении два знака, в третьем – четыре и в четвертом – восемь.

Если число n не лежит между 1 и 100, то следует предварительно разделить (или умножить) n на некоторую степень числа 100, скажем, на k-ю, чтобы произведение оказалось в интервале от 1 до 100. Тогда квадратный корень из произведения будет находиться в интервале от 1 до 10, и после того, как он будет извлечен, мы, умножив (или разделив) полученное число на 10k, найдем искомый квадратный корень. Например, если n = 400000, то мы сначала делим 400000 на 1002 и получаем число 40, лежащее в интервале от 1 до 100. Как показано выше, приближенно равен 6,3245553. Умножая это число на 102, получаем 632,45553 в качестве приближенного значения для , а число 0,63245553 служит приближенным значением для .

Вторая из упомянутых выше процедур основана на алгебраическом тождестве (a + b)2 = a2 + (2a + b)b. На каждом шаге уже полученная часть квадратного корня принимается за a, а часть, которую еще требуется определить, – за b.

назад   дальше



АРИФМЕТИКА
Краткая история арифметики
Механизация арифметических вычислений
Целые положительные числа
Делители целых чисел
Положительные рациональные числа
Положительные действительные числа
Индо-арабская система счисления
Названия чисел
Сложение
Вычитание
Умножение
Деление
Дроби
Квадратный корень
Кубический корень
Алгоритм Евклида
Проверка
Проценты
Арифметика приближенных чисел
Логарифмы
Литература

Дополнительные опции

Популярные рубрики:

Страны мира Науки о Земле Гуманитарные науки История Культура и образование Медицина Наука и технология


Добавьте свои работы

Помогите таким же студентам, как и вы! Загрузите в систему свои работы, чтобы они стали доступны всем! Принимаем курсовые, дипломы, рефераты и много чего еще ;- )

Добавить работы →

Последнее обновление -
05/04/2020

Каждый день в нашу базу попадают всё новые и новые работы. Заходите к нам почаще - следите за новинками!

Мобильная версия

Можете пользоваться нашим научным поиском через мобильник или планшет прямо на лекциях и занятиях!