Students.by - это живая энциклопедия белорусского студента (статьи, книги, мультимедиа). Еще мы предлагаем поиск по лучшим полнотекстовым научным хранилищам Беларуси!
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
||||||||||
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() |
![]() Многочлены и уравнения. Многочленом называется выражение 2x3 5x2 + 6x 1, в общем виде представляющее собой сумму целочисленных степеней одного и того же числа, взятых с заданными коэффициентами. С помощью десятичной записи целые числа можно представлять в виде многочленов по степеням числа 10, например, 365 = 3Ч(102) + 6(10) + 5. Если число x в выражении 2x3 5x2 + 6x 1 не задано и может принимать значения из некоторого множества чисел, то оно называется переменной, и формула 2x3 5x2 + 6x 1 определяет некоторую функцию, область определения которой совпадает с тем множеством значений, которые может принимать x. Такая функция называется полиномиальной или для краткости просто полиномом (многочленом); обычно областью определения многочлена принято считать область всех вещественных чисел или множество всех комплексных чисел (см. ФУНКЦИЯ). Степенью многочлена называют высшую степень входящей в него переменной, например, 2x3 5x2 + 6x 1 многочлен третьей степени. Любое число, отличное от нуля, рассматриваемое как функция (постоянная, или константа), представляет собой многочлен нулевой степени. Многочлены степеней 1, 2, 3, 4 называются соответственно линейными, квадратными, кубическими и биквадратными. Многочлены можно складывать и умножать так же, как числа, за исключением операции переноса единицы в старший разряд. Последнее вполне естественно, т.к. обычный способ записи чисел по существу является их представлением в виде многочлена по степеням числа 10. Например, чтобы найти сумму многочленов 2x3 3x2 + 4x + 5 и x2 + 3x 2, мы записываем
чтобы найти произведение тех же многочленов, мы записываем
Алгебраическое уравнение (в стандартной форме) это записанное в алгебраических обозначениях утверждение о том, что некоторая полиномиальная функция обращается в нуль при некотором значении или некоторых значениях переменной (которые требуется найти; например, x2 5x + 6 = 0 алгебраическое уравнение). Уравнение типа 5 2x = 6x2 3x, приводимое к стандартному алгебраическому уравнению, также называется алгебраическим уравнением. В тех разделах математики, где неалгебраические уравнения (например, ex + 2sin x = 3) не встречаются, вместо слов «алгебраическое уравнение» обычно говорят просто «уравнение». Значения переменной, при которых многочлен обращается в нуль, называются корнями многочлена; они также являются корнями уравнения, получающегося, если многочлен приравнять нулю. Например, многочлен x2 5x + 6 имеет корни 2 и 3, т.к. 22 5Ч2 + 6 = 0 и 32 5Ч3 + 6 = 0; уравнение x2 5x + 6 = 0 также имеет корни 2 и 3. Заметим, однако, что в многочлене x2 5x + 6 переменная x означает любое число из области определения функции; в уравнении же x2 5x + 6 = 0 неизвестная величина x означает одно из чисел, удовлетворяющих уравнению, т.е. превращающих его в тождество, а именно 2 или 3. Линейное уравнение общего вида можно записать как ax + b = 0, где a(№ 0) и b два заданных числа. Оно имеет решение x = b/a; таким образом, линейное (степени 1) уравнение имеет ровно один корень. Квадратное уравнение имеет вид ax2 + bx + c = 0. Некоторые простые квадратные уравнения удается решить методом факторизации: если уравнение имеет вид x2 5x + 6 = 0, то его можно также записать в эквивалентной форме (x 3)(x 2) = 0, а последнее выполняется только в том случае, когда x = 3 или x = 2 (т.к. произведение двух чисел равно нулю лишь когда один из сомножителей равен нулю). Следовательно, у интересующего нас уравнения два корня: 2 и 3. Было установлено, что квадратное уравнение обычно имеет два корня, хотя, например, у уравнения x2 4x + 4 = 0 только один корень. Считается, что в этом случае оба корня уравнения совпадают, так как многочлен, стоящий в левой части уравнения, можно представить в виде двух линейных сомножителей x2 4x + 4 = (x 2)(x 2). Квадратное уравнение типа x2 + 2x + 4 = 0 не имеет действительных корней, т.к. x2 + 2x + 4 = x2 + 2x + 1 + 3 = (x + 1)2 + 3, т.е. значение многочлена x2 + 2x + 4 положительно при любом действительном x; однако у этого уравнения есть, как будет показано ниже, два комплексных корня. Так называемая основная теорема алгебры утверждает, что любой многочлен положительной степени n можно разложить в произведение n линейных сомножителей (возможно, с использованием комплексных чисел), поэтому в общем случае можно сказать, что алгебраическое уравнение степени n имеет n корней (хотя значения некоторых корней могут совпадать). Общий метод решения квадратного уравнения (называемый дополнением до полного квадрата) основан на идее, с помощью которой мы показали, что у уравнения x2 + 2x + 4 = 0 нет действительных корней. В качестве примера мы выберем уравнение, имеющее действительные корни: x2 + 2x 2 = 0. Запишем это уравнение в виде x2 + 2x = 2 и прибавим к правой и левой части по 1: x2 + 2x + 1 = 3. В левой части теперь стоит полный квадрат, поэтому (x + 1)2 = 3. Это означает, что число x + 1 один из квадратных корней из 3, т.е.
откуда
Обычно для краткости это записывают так:
что следует понимать как альтернативу (x принимает либо одно, либо другое значение), но отнюдь не как утверждение о том, будто x принимает два значения одновременно. Следуя той же самой процедуре, мы можем решить квадратное уравнение в общем виде и получить формулу для его корней. Запишем уравнение в виде ax2 + bx + c = 0, где a № 0, перенесем свободный член в правую часть с противоположным знаком и разделим каждый член уравнения на a:
Тогда
Если величина b2 4ac отлична от нуля, то радикал следует понимать как любой из двух квадратных корней из b2 4ac, один из которых положительный, а другой отрицательный, поэтому полученная формула дает ровно два корня; если величина b2 4ac равна нулю, то x = b/(2a), и мы говорим, что уравнение имеет два равных корня. Если величина b2 4ac положительна, то никаких трудностей с извлечением квадратного корня не возникает. Если же величина b2 4ac отрицательна, то нам приходится вводить мнимую единицу i, определяемую как квадратный корень из -1, и корни уравнения становятся комплексными. Так, если, например, b2 4ac = 4, то
Чтобы продемонстрировать, как действует формула для корней квадратного уравнения в случае, когда b2 4ac < 0, рассмотрим уравнение 2x2 4x + 3 = 0. Здесь a = 2, b = 4, c = 3, и корни равны
Формула для корней квадратного уравнения остается в силе и в том случае, когда коэффициенты уравнения комплексные числа, но приводит к необходимости извлекать квадратный корень из комплексного числа, а поэтому менее удобна, чем в случае действительных коэффициентов. Формулы для корней уравнений третьей и четвертой степеней (кубических и биквадратных уравнений) выглядят гораздо сложнее, а для уравнений пятой и более высоких степеней они существуют лишь в отдельных случаях. Когда же коэффициенты уравнения достаточно сложны, например, выражаются числами со многими значащими цифрами, такие формулы не имеют практического значения, и гораздо эффективнее воспользоваться приближенными методами. См. также УРАВНЕНИЯ.
|
![]() |
![]() |
![]() ![]() ![]()
|