Вывести на печать

Степени и радикалы. Обозначение x2 (читается «икс в квадрате») используется для сокращенной записи произведения xx (т.е. «икс раз по икс»); например, 32 = 9 и (–1/2)2 = 1/4. Число 2 в этой записи называется показателем степени. Аналогичный смысл имеют более высокие показатели степени: x3 (читается «икс в кубе») означает xxx, а xn (читается «икс в степени n») означает произведение n сомножителей x. Например, 25 = 2Ч2Ч2Ч2Ч2 = 32. Само число x можно записать как x1 (икс в первой степени), но показатель 1 обычно опускается. Так как 22Ч23 = 25 и вообще xmЧxn = xm+n (в этом нетрудно убедиться, если воспользоваться определением степеней), мы приходим к определениям отрицательных и нулевого показателей степеней: xn = 1/xn и x0 = 1. Например, 2– 3 = (1/2)3 = 1/8; 20 = 1. (Для нуля отрицательные и нулевая степени не определены.)

Равенство xmЧxn = xm+n – одно из трех фундаментальных правил действий над степенями, два других правила имеют вид xmЧym = (xy)m и (xm)n = xmn. Например, 23Ч33 = 63 и (23)4 = 212 = 4096. Повторные показатели следует интерпретировать следующим образом: означает . Таким образом, означает . Это число часто приводят как наибольшее число, которое можно записать с помощью трех цифр.

Корнем n-й степени из числа x называется число, n-я степень которого совпадает с x. При n = 2 или n = 3 корни называются соответственно квадратным и кубическим. Например, 3 и -3 – квадратные корни из 9, так как 32 = 9 и (–3)2 = 9; 2 – кубический корень из 8, т.к. 23 = 8; -2 – кубический корень из -8; 1/2 – кубический корень из 1/8. У любого положительного числа существуют два квадратных корня, один положительный и один отрицательный. Положительный квадратный корень из x обозначается , поэтому . (Символ – стилизованная буква латинского алфавита r, первая буква латинского слова «radix» – корень.) Произвольное положительное число имеет n корней n-й степени; если n четно, то оба корня – действительные; если n нечетно, то действительным является один корень. Если x – положительное число, то символ означает положительный корень n-й степени при четном n; если x – положительное или отрицательное число, то означает один из действительных корней n-й степени при нечетном n. Например, , , , , , называются радикалами. Простые радикалы, выражающие иррациональные числа, например , , , и поныне называются несколько устаревшим термином «иррациональности». Следует подчеркнуть, что всегда означает положительный квадратный корень, так что, например, только в том случае, если y – положительное число; если же y отрицательно, то означает положительное число-y .

Альтернативные обозначения корней основаны на использовании дробных степеней и предпочтительны с точки зрения удобства типографского набора. Если считать, что дробные показатели степеней должны подчиняться тем же законам, что и целые, то x1/2x1/2 должно означать (x1/2)2 = x1/2Ч2 = x; по определению мы полагаем . Аналогично, x1/n означает корень n-й степени из x, поэтому, например, 81/3 = 2. Естественно, xp/q означает p-ю степень корня q-й степени из числа x или имеет альтернативный (при положительных xэквивалентный) смысл корня q-й степени из p-й степени числа x. Например, 82/3 = 22 = 4 или 82/3 = 641/3 = 4; 8–2/3 = 1/4 . Определения дробных и отрицательных степеней положительных чисел выбраны так, чтобы при работе с ними сохранялись правила действий с целыми положительными степенями. Например,

Определить степени отрицательных или комплексных чисел так, чтобы и для них выполнялись все без исключения правила действий над степенями, не представляется возможным. См. также ЛОГАРИФМЫ.

назад   дальше



АЛГЕБРА
Символы группировки
Системы уравнений
Степени и радикалы
Тождества
Многочлены и уравнения
Неравенства
Литература

Дополнительные опции

Популярные рубрики:

Страны мира Науки о Земле Гуманитарные науки История Культура и образование Медицина Наука и технология


Добавьте свои работы

Помогите таким же студентам, как и вы! Загрузите в систему свои работы, чтобы они стали доступны всем! Принимаем курсовые, дипломы, рефераты и много чего еще ;- )

Добавить работы →

Последнее обновление -
07/04/2020

Каждый день в нашу базу попадают всё новые и новые работы. Заходите к нам почаще - следите за новинками!

Мобильная версия

Можете пользоваться нашим научным поиском через мобильник или планшет прямо на лекциях и занятиях!