(a + b)(c + d) = ac + bc + ad + bd.

Такое равенство называется тождеством; под этим понимается, что независимо от того, какие числа были обозначены символами a, b, c, d, результат выполнения операций, указанных в левой части равенства, совпадает с результатом операций, указанных в правой части равенства. Кстати сказать, приведенное выше тождество используется в арифметике при решении, например, таких задач:

25ґ36 = (20 + 5)(30 + 6) = 600 + 150 + 120 + 30;

обычная форма записи, принятая при выполнении вычислений, является сокращенной формой этого тождества. Другие тождества, такие как

могут использоваться как для упрощения решений в арифметике, так и для строго алгебраических целей. Например,

101ґ99 = (100 + 1)(100 – 1) = 100² – 1² = 9999.

Первые две из приведенных формул являются частными случаями (с показателем 2) бинома Ньютона (см. также НЬЮТОНА БИНОМ).

Эти тождества можно читать и в обратную сторону, т.е. справа налево, для записи алгебраических выражений в виде произведения множителей, например,

Такая факторизация (разложение на множители) полезна при решении уравнений.

Раскрыв произведение (ax + b)(cx + d), мы получим тождество

(ax + b)(cx + d) = acx² + (bc + ad)x + bd.

Довольно часто приходится сталкиваться с задачей представления в виде произведения двух множителей выражений типа x² – x – 6. Если такое представление с целочисленными коэффициентами возможно, то его можно попытаться найти путем подбора коэффициентов (в рассматриваемом случае

x² – x – 6 = (x – 3)(x +2)).

назад   дальше