Вывести на печать

Векторные произведения. Векторным или внешним произведением векторов называется вектор, модуль которого равен произведению их модулей на синус угла, перпендикулярный исходным векторам и составляющий вместе с ними правую тройку. Это произведение легче всего ввести, рассматривая соотношение между скоростью и угловой скоростью. Первая – вектор; мы теперь покажем, что последнюю также можно интерпретировать как вектор.

Угловая скорость вращающегося тела определяется следующим образом: выберем любую точку на теле и проведем перпендикуляр из этой точки до оси вращения. Тогда угловая скорость тела – это число радиан, на которые эта линия повернулась за единицу времени.

Если угловая скорость – вектор, она должна иметь численное значение и направление. Численное значение выражается в радианах в секунду, направление можно выбрать вдоль оси вращения, можно его определить, направив вектор в том направлении, в котором двигался бы правосторонний винт при вращении вместе с телом.

Рассмотрим вращение тела вокруг фиксированной оси. Если установить эту ось внутри кольца, которое в свою очередь закреплено на оси, вставленной внутрь другого кольца, мы можем придать вращение телу внутри первого кольца с угловой скоростью w1 и затем заставить внутреннее кольцо (и тело) вращаться с угловой скоростью w2. Рисунок 7 поясняет суть дела; круговые стрелки показывают направления вращения. Данное тело – это твердая сфера с центром О и радиусом r.

(17.80 Кб)

Придадим этому телу движение, которое является суммой двух различных угловых скоростей. Это движение довольно трудно представить наглядно, но достаточно очевидно, что тело больше не вращается относительно фиксированной оси. Однако все-таки можно сказать, что оно вращается. Чтобы показать это, выберем некоторую точку P на поверхности тела, которая в рассматриваемый нами момент времени находится на большом круге, соединяющем точки, в которых две оси пересекают поверхность сферы. Опустим перпендикуляры из P на оси. Эти перпендикуляры станут радиусами PJ и PK окружностей PQRS и PTUW соответственно. Проведем прямую POPў, проходящую через центр сферы. Теперь точка P, в рассматриваемый момент времени одновременно перемещается по окружностям, которые соприкасаются в точке P. За малый интервал времени Dt, P перемещается на расстояние

Это расстояние равно нулю, если

В этом случае точка P находится в состоянии мгновенного покоя, и точно также все точки на прямой POPў. Остальная часть сферы будет в движении (окружности, по которым перемещаются другие точки, не касаются, а пересекаются). POPў является, таким образом, мгновенной осью вращения сферы, подобно тому, как колесо, катящееся по дороге в каждый момент времени, вращается относительно своей нижней точки.

Чему равна угловая скорость сферы? Выберем для простоты точку A, в которой ось w1 пересекает поверхность. В момент времени, который мы рассматриваем, она перемещается за время Dt на расстояние

по кругу радиуса r sin w1. По определению, угловая скорость

Из этой формулы и соотношения (1) мы получим

Другими словами, если записать численное значение и выбрать направление угловой скорости так, как это описано выше, то эти величины складываются как векторы и могут быть рассмотрены как таковые.

Теперь можно ввести векторное произведение; рассмотрим тело, вращающееся с угловой скоростью w. Выберем любую точку P на теле и любое начало координат О, которое находится на оси вращения. Пусть r – вектор, направленный от О к P. Точка P движется по окружности со скоростью

V = w r sin (w, r).

Вектор скорости V является касательным к окружности и указывает в направлении, показанном на рис. 8.

(4.64 Кб)

Это уравнение дает зависимость скорости V точки от комбинации двух векторов w и r. Используем это соотношение, чтобы определить новый вид произведения, и запишем:

V = w ґ r.

Так как результатом такого умножения является вектор, это произведение названо векторным. Для любых двух векторов A и B, если

A ґ B = C,

то

C = AB sin бA, Bс,

и направление вектора C таково, что он перпендикулярен плоскости, проходящей через А и B и указывает в направлении, совпадающем с направлением движения правовращающегося винта, если он параллелен C и вращается от A к B. Другими словами, мы можем сказать, что A, B и C, расположенные в таком порядке, образуют правый набор координатных осей. Векторное произведение антикоммутативно; вектор B ґ A имеет тот же модуль, что и A ґ B, но направлен в противоположную сторону:

A ґ B = –B ґ A.

Это произведение дистрибутивно, но не ассоциативно; можно доказать, что

Посмотрим, как записывается векторное произведение в терминах компонент и единичных векторов. Прежде всего, для любого вектора A,

A ґ A = AA sin 0 = 0.

Следовательно, в случае единичных векторов,

i ґ i = j ґ j = k ґ k = 0

и

i ґ j = k, j ґ k = i, k ґ i = j.

Тогда,

Это равенство также можно записать в виде определителя:

Если A ґ B = 0, то либо A или B равно 0, либо A и B коллинеарны. Таким образом, как и в случае скалярного произведения, деление на вектор невозможно. Величина A ґ B равна площади параллелограмма со сторонами A и B. Это легко видеть, так как B sin бA, Bс – его высота и A – основание.

Существует много других физических величин, которые являются векторными произведениями. Одно из наиболее важных векторных произведений появляется в теории электромагнетизма и называется вектором Пойтинга P. Этот вектор задается следующим образом:

P = E ґ H,

где E и H – векторы электрического и магнитного полей соответственно. Вектор P можно рассматривать как заданный поток энергии в ваттах на квадратный метр в любой точке. Приведем еще несколько примеров: момент силы F (крутящий момент) относительно начала координат, действующей на точку, радиус-вектор которой r, определяется как r ґ F; частица, находящаяся в точке r, массой m и скоростью V, имеет угловой момент mr ґ V относительно начала координат; сила, действующая на частицу, несущую электрический заряд q через магнитное поле B со скоростью V, есть qV ґ B.

назад   дальше



ВЕКТОР
Сложение векторов
Умножение вектора на скаляр
Линейные функции
Умножение двух векторов
Скалярные произведения
Векторные произведения
Тройные произведения
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ВЕКТОРА
Вектор и скалярные поля
Градиент
Дивергенция и ротор
Теорема дивергенции (теорема Остроградского – Гаусса)
Теорема Стокса
Литература

Дополнительные опции

Популярные рубрики:

Страны мира Науки о Земле Гуманитарные науки История Культура и образование Медицина Наука и технология


Добавьте свои работы

Помогите таким же студентам, как и вы! Загрузите в Интернет свои работы, чтобы они стали доступны всем! Сделать это лучше через платформу BIBLIOTEKA.BY. Принимаем курсовые, дипломы, рефераты и много чего еще ;- )

Опубликовать работы →

Последнее обновление -
29/03/2024

Каждый день в нашу базу попадают всё новые и новые работы. Заходите к нам почаще - следите за новинками!

Мобильная версия

Можете пользоваться нашим научным поиском через мобильник или планшет прямо на лекциях и занятиях!