Students.by - это живая энциклопедия белорусского студента (статьи, книги, мультимедиа). Еще мы предлагаем поиск по лучшим полнотекстовым научным хранилищам Беларуси!
|
Дивергенция и ротор. Мы видели результат действия С на скалярную функцию. Что произойдет, если С применить к вектору? Имеются две возможности: пусть U (x, y, z) вектор; тогда мы можем образовать векторное и скалярное произведения следующим образом:
Первое из этих выражений скаляр, называемый дивергенцией U (обозначается divU); второе вектор, названный ротор U (обозначается rotU). Эти дифференциальные функции, дивергенция и ротор, широко используются в математической физике. Представьте, что U некоторый вектор и что он и его первые производные непрерывны в некоторой области. Пусть P точка в этой области, окруженная малой замкнутой поверхностью S, ограничивающей объем DV. Пусть n единичный вектор, перпендикулярный к этой поверхности в каждой точке (n меняет направление при движении вокруг поверхности, но всегда имеет единичную длину); пусть n направлен наружу. Покажем, что
и
Здесь S указывает, что эти интегралы берутся по всей поверхности, da элемент поверхности S. Для простоты мы выберем удобную для нас форму S в виде небольшого параллелепипеда (как показано на рис. 12) со сторонами Dx, Dy и Dz; точка P центр параллелепипеда. Вычислим интеграл из уравнения (4) сначала по одной грани параллелепипеда. Для передней грани n = i (единичный вектор параллелен оси x); Da = DyDz. Вклад в интеграл от передней грани равен
На противоположной грани n = i; эта грань дает вклад в интеграл
Используя теорему Тейлора, получим общий вклад от двух граней
Заметим, что DxDyDz = DV. Аналогичным образом можно вычислить вклад от двух других пар граней. Полный интеграл равен
и если мы положим DV ® 0, то члены более высокого порядка исчезнут. По формуле (2) выражение в скобках это divU, что доказывает равенство (4). Равенство (5) можно доказать таким же образом. Воспользуемся снова рис. 12; тогда вклад от передней грани в интеграл будет равен
и, используя теорему Тейлора, получим, что суммарный вклад в интеграл от двух граней имеет вид
т.е. это два члена из выражения для rotU в уравнении (3). Другие четыре члена получатся после учета вкладов от других четырех граней. Что, в сущности, означают эти соотношения? Рассмотрим равенство (4). Предположим, что U скорость (жидкости, например). Тогда nЧU da = Un da, где Un является нормальной компонентой вектора U к поверхности. Поэтому, Un da это объем жидкости, протекающей через da в единицу времени, а это объем жидкости, вытекающей через S в единицу времени. Следовательно,
скорость расширения единицы объема вокруг точки P. Отсюда дивергенция получила свое название; она показывает скорость, с которой жидкость расширяется из (т.е. расходится от) P. Чтобы объяснить физическое значение ротора U, рассмотрим другой поверхностный интеграл по маленькому цилиндрическому объему высотой h, окружающему точку P; плоско-параллельные поверхности могут быть ориентированы в любом направлении, которое мы выбираем. Пусть k единичный вектор перпендикулярный к каждой поверхности, и пусть площадь каждой поверхности DA; тогда полный объем DV = hDA (рис. 13). Рассмотрим теперь интеграл
Подынтегральное выражение уже упоминавшееся ранее тройное скалярное произведение. Это произведение будет равно нулю на плоских поверхностях, где k и n параллельны. На кривой поверхности
где ds элемент кривой как показано на рис. 13. Сравнивая эти равенства с соотношением (5), получаем, что
Мы по-прежнему предполагаем, что U скорость. Чему в таком случае будет равна средняя угловая скорость жидкости вокруг k? Очевидно, что
если DA ® 0. Это выражение максимально, когда k и rotU указывают в одном и том же направлении; это означает, что rotU вектор, равный удвоенной угловой скорости жидкости в точке P. Если жидкость вращается относительно P, то rotU № 0, и векторы U будут вращаться вокруг P. Отсюда и возникло название ротора. |
|