Students.by - это живая энциклопедия белорусского студента (статьи, книги, мультимедиа). Еще мы предлагаем поиск по лучшим полнотекстовым научным хранилищам Беларуси!
 |
 |
|
|
|
|
|
  
|
|
Умножение двух векторов. Правило сложения векторов было получено путем изучения поведения величин, представленных векторами. Нет никаких видимых причин, по которым два вектора нельзя было бы каким-либо образом перемножить, однако это умножение будет иметь смысл только в том случае, если можно показать его математическую состоятельность; кроме того, желательно, чтобы произведение имело определенный физический смысл. Существуют два способа умножения векторов, которые соответствуют этим условиям. Результатом одного из них является скаляр, такое произведение называется «скалярным произведением» или «внутренним произведением» двух векторов и записывается AЧB или (A, B). Результатом другого умножения является вектор, называемый «векторным произведением» или «внешним произведением» и записывается AґB или [A, B]. Скалярные произведения имеют физический смысл для одного-, двух- или трех измерений, тогда как векторные произведения определены только для трех измерений. Скалярные произведения. Если под действием некоторой силы F точка, к которой она приложена, перемещается на расстояние r, то выполненная работа равна произведению r и компоненты F в направлении r. Эта компонента равна F cos бF, rс, где бF, rс – угол между F и r, т.е. Произведенная работа = Fr cos бF, rс. Это – пример физического обоснования скалярного произведения, определенного для любых двух векторов A, B посредством формулы AЧB = AB cos бA, Bс. Так как все величины правой части уравнения – скаляры, то AЧB = BЧA; следовательно, скалярное умножение коммутативно. Скалярное умножение также обладает свойством дистрибутивности: AЧ(B + С) = AЧB + AЧС. Если векторы A и B перпендикулярны, то cos бA, Bс равен нулю, и, поэтому, AЧB = 0, даже если ни A, ни B не равны нулю. Именно поэтому мы не можем делить на вектор. Допустим, что мы разделили обе части уравнения AЧB = AЧC на A. Это дало бы B = C, и, если бы можно было бы выполнить деление, то это равенство стало бы единственным возможным результатом. Однако, если мы перепишем уравнение AЧB = AЧC в виде AЧ(B – C) = 0 и вспомним, что (B – C) – вектор, то ясно, что (B – C) необязательно равен нулю и, следовательно, B не должен быть равным C. Эти противоречивые результаты показывают, что векторное деление невозможно.
Скалярное произведение дает еще один способ записи численного значения (модуля) вектора:
AЧA = AAЧcos 0° = A2; поэтому
Скалярное произведение можно записать и другим способом. Для этого вспомним, что: A = Ax i + Ayj + Azk. Заметим, что
Тогда,
Поскольку последнее уравнение содержит x, y и z в качестве нижних индексов, уравнение, казалось бы, зависит от выбранной конкретной системы координат. Однако это не так, что видно из определения, которое не зависит от выбранных координатных осей. |
|
|
|
