Пусть E ²f (x) – результат действия E на Ef (x), тогда E ²f (x) = f (x + 2d). Пользуясь математической индукцией, получаем для произвольного индекса p формулу

Опустим в формуле (8) символ функции и рассмотрим соотношение между одними лишь символами E = 1 + D. Оказалось, что с этим равенством и с другими, выводимыми из него, можно обращаться в соответствии с обычными правилами алгебры. Если степени символов интерпретировать как результат последовательного применения операторов Е и D, то полученные формулы также будут справедливы. Рассмотрим, например, E^p = (1 + D)p. Если правую часть равенства разложить по формуле бинома, а полученный ряд применить к f (x), мы получим разложение, стоящее в правой части интерполяционной формулы (7).

Из (9) следует, что запись E^pf (x) эквивалентна f (x + pd). Таким образом, биномиальное разложение, примененное к f (x) как операторное и приравненное к f (x + pd), дает формулу Грегори – Ньютона.

Этот пример иллюстрирует характерные особенности символического (операторного) метода. Он позволил открыть так много замечательных формул, что большинство авторов, впервые его применивших, в своих работах не могли не выразить своего восхищения его мощью. Тайна эффективности этого метода кроется в том, что основной закон комбинирования алгебраических величин, с одной стороны, и операторы, такие, как D и Е, с другой, удовлетворяют правилу сложения показателей степеней

Следует иметь в виду, однако, что в первом случае символ произведения интерпретируется как обычное умножение, а во втором как последовательное выполнение операций.

Символические методы позволяют установить связь исчисления конечных разностей с дифференциальным исчислением. Чтобы убедиться в этом, обозначим производную от f (x) символом Df (x), вторую производную – символом D ²f (x) и т.д. Разложение f (x + d) в ряд Тейлора (см. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ) можно записать символически в виде

Учитывая, что разложение в ряд функции e^z, где e = 2,71828ј – основание натуральных логарифмов, имеет вид

разложение (10) можно записать как

Опуская, как и прежде, символ функции, получаем чисто символическое уравнение

Если разрешить его относительно D по обычным правилам алгебры и принять во внимание разложение в ряд Тейлора для логарифмической функции, то получим

т.е.

Еще более замечательные соотношения получаются для обратных операторов D^–1 и D^–1. Первый оператор интерпретируется как символ интегрирования т, а второй – как символ суммирования е, определяемый следующим образом:

Хотя D^–1 и D^–1 следует рассматривать как символы операторов, примечательно, что над ними можно производить алгебраические операции так, как если бы это были величины ¹/_D и ¹/_D.

В качестве примера применения символического метода решим уравнение (13) относительно ¹/_D:

Для интерпретации этого соотношения необходимо иметь в виду разложение

где B₁ = ¹/₆, B₂ = ¹/₃₀, B₃ = ¹/₄₂ – т.н. числа Бернулли, названные так в честь открывшего их Я.Бернулли (1654–1705). Эти числа используются в различных разделах исчисления конечных разностей. Бернулли с гордостью заявлял, что с их помощью он нашел сумму десятых степеней первой тысячи натуральных чисел «за половину четверти часа».

Подставив x вместо dD в правой части разложения (18) и сделав небольшие преобразования, можно записать (17) в виде

Вспомнив, что означали эти символы, и применив формулу к f (x), получим следующее разложение:

назад   дальше