Хотя Л.Эйлер (1707–1783) в своих работах по дифференциальному исчислению использовал предельные переходы в конечных разностях, основания современной теории конечных разностей были заложены в основном Ж.Лагранжем (1736–1813) и П.Лапласом (1749–1827). Первый из них ввел в исчисление конечных разностей символические методы, второй сделал конечные разности главным инструментом в своей Аналитической теории вероятностей (1812).

Под влиянием этих работ математики 19 в. принялись интенсивно разрабатывать предмет, и в 1860 Дж.Буль выпустил свой классический Трактат об исчислении конечных разностей. С тех пор это исчисление и круг его приложений существенно расширились. Одно из наиболее важных приложений конечные разности нашли в статистике. Особенно полезными они оказались в теории сериальной корреляции, в анализе случайных последовательностей и статистических временных рядов.

Интерполяция. Чтобы понять, как конечные разности используются при интерполяции, рассмотрим следующую таблицу:

x	f (x) = x3	D	D 2	D 3
1	1
		7
2	8		12
		19		6
3	27		18
		37		6
4	64		24
		61
5	125

Величины в первом столбце таблицы называются значениями аргумента, во втором – табличными значениями функции. В трех следующих столбцах приведены разности первого, второго и третьего порядков. Числа 7, 12, 6 называются «ведущими» или «диагональными разностями», соответствующими первому аргументу. Термин «диагональные» использован потому, что разности относительно соответствующих аргументов и табличных значений располагаются не по горизонтали.

Величина (¹/₂) (19 + 37) = 28 называется центральной разностью, соответствующей третьему аргументу, и обозначается символом md. Греческая буква m означает среднее, md – среднее соседних разностей. Величина 18 называется центральной разностью второго порядка и обозначается символом d² . Термин «центральная» указывает на то, что эти разности расположены по центру относительно аргумента, т.к. они либо лежат на одной горизонтали с аргументом, либо являются средними значений, расположенных по соседству с этой горизонталью.

Обобщая, таблицу величин можно записать в символических обозначениях следующим образом:

Аргумент	Табличное значение	D	D 2	D 3
x – 2d	f (x – 2d)		D 2 f (x – 3d)
		D f (x – 2d)		D 3 f (x – 3d)
x – d	f (x – d)		D 2 f (x – 2d)
		D f (x – d)		D 3 f (x – 2d)
x	f (x)		D 2 f (x – d)
		D f (x)		D 3 f (x – d)
x + d	f (x + d)		D 2 f (x)
		D f (x + d)		D 3 f (x)
x + 2d	f (x + 2d)		D 2 f (x + d)
		D f (x + 2d)		D 3 f (x + d)
x + 3d	f (x + 3d)		D 2 f (x + 2d)

Величины D f (x), D² f (x), D³ f (x) представляют собой диагональные разности, соответствующие аргументу x. Если мы захотим найти табличные значения для аргумента x + pd, где p – некоторое произвольно выбранное число, то необходимо подставить соответствующие значения в следующий ряд, известный под названием интерполяционной формулы Грегори – Ньютона (в русскоязычной литературе эту формулу принято называть формулой Ньютона):

где 2! (читается «два факториал») означает 1Ч2, 3! = 1Ч2Ч 3 и т.д.

В литературе встречается несколько вариантов формулы Грегори – Ньютона. В некоторых из них вместо диагональных разностей используются центральные разности. Так, центральные разности, соответствующие аргументу x, определяются следующим образом:

и т.д.

В качестве примера найдем по формуле интерполяции значение (2,5)³ из приведенной выше числовой таблицы. Так как d = 1, p = ¹/₂ и диагональные разности, соответствующие x = 2, равны D = 19, D² = 18, D³ = 6, находим по формуле интерполяции

назад   дальше