Вывести на печать

КОНЕЧНЫЕ РАЗНОСТИ. Исчисление конечных разностей связано с изучением свойств и применений разностей между соседними членами какой-нибудь последовательности или между значениями функции в точках, расположенных с постоянным интервалом в некотором пространстве. Слово «конечные» используется здесь в несколько устаревшем смысле «не бесконечно малые», т.е. не связанные с предельными переходами. Поскольку дифференциальное исчисление занимается изучением пределов разностей, а исчисление конечных разностей – самими разностями, то естественно, что между этими двумя теориями существуют много параллелей. Исчисления конечных разностей используются при интерполяции в математических таблицах, при суммировании числовых рядов, при вычислении интегралов и дифференцировании функций. Разности встречаются также в любой ситуации, когда надо описать поведение объекта, который испытывает воздействие меняющихся условий на определенном расстоянии (во времени и в пространстве). Например, термостату требуется значительное время, чтобы отреагировать на изменение температуры, поэтому он реагирует не на текущую температуру, а на ту, что была минуту назад. Другой пример: автомашиной управляет водитель, которому требуется какое-то время, чтобы отреагировать на возникшую на дороге ситуацию.

Под конечной разностью первого порядка функции f (x) принято понимать величину

где d – некоторая постоянная, которую часто, но не всегда, принимают равной 1. Разность второго порядка обозначается D2f и представляет собой разность разностей, т.е.

Продолжив этот процесс, мы получим разности более высоких порядков D3f (x), D4f (x), ј .

Данные выше определения можно также применить к членам любых последовательностей величин, например, к последовательности

3, 6, 11, 18, 27, 38, ј.

Первые разности равны

6 – 3, 11 – 6, 18 – 11, 27 – 18, 38 – 27, ј,

т.е.

3, 5, 7, 9, 11, ј;

разности второго порядка постоянны и равны 2.

В общем виде такие последовательности можно записать как

где разности первого, второго и т.д. порядков определяются выражениями

а n может принимать любое допустимое для индекса значение.

В некоторых приложениях используются последовательности вида

где индексы могут принимать любые убывающие значения. В этом случае вместо символа D используется символ «разделенной разности». Разделенные разности первого и второго порядков определяются следующим образом:

Помимо уже названных выше приложений, исчисление конечных разностей используется в страховании, теории вероятностей и статистике. В последние годы с изобретением быстродействующих компьютеров конечные разности стали все более широко применяться при решении дифференциальных уравнений, обыкновенных и в частных производных, многие из которых ранее было невозможно решить другими математическими методами.

дальше



КОНЕЧНЫЕ РАЗНОСТИ
У истоков теории
Интерполяция
Символические методы
Суммирование рядов
Разностные уравнения

Дополнительные опции

Популярные рубрики:

Страны мира Науки о Земле Гуманитарные науки История Культура и образование Медицина Наука и технология


Добавьте свои работы

Помогите таким же студентам, как и вы! Загрузите в Интернет свои работы, чтобы они стали доступны всем! Сделать это лучше через платформу BIBLIOTEKA.BY. Принимаем курсовые, дипломы, рефераты и много чего еще ;- )

Опубликовать работы →

Последнее обновление -
29/03/2024

Каждый день в нашу базу попадают всё новые и новые работы. Заходите к нам почаще - следите за новинками!

Мобильная версия

Можете пользоваться нашим научным поиском через мобильник или планшет прямо на лекциях и занятиях!