которую можно записать в более компактном виде

Заметим, что

откуда

Тот же результат можно получить и из формулы (20). В этом случае, полагая d = 1 и f (x) = x, получаем

Разностные уравнения. В некоторых приложениях метода конечных разностей встречаются уравнения, типичными примерами которых являются следующие:

Такие уравнения называются «разностными уравнениями», так как их можно превратить в соотношения между разностями u. Например, первое уравнение можно записать в виде Du_x = (x – 1)u_x, а второе – в виде D²u_x + ³/₂ Du_x = 0. Первое называется разностным уравнением первого порядка, второе – второго порядка.

Такие уравнения встречаются, в частности, в приложениях теории вероятностей, для нахождения последовательных значений величины u_x, когда x пробегает некоторую последовательность целых чисел. Такие образом, для уравнения (21), если u₁ =1 и x = 2, 3, 4, ј, n, получаем

Аналогично, для (22), если u₀ = 1, u₁ = 0 и x = 2, 3, 4, ј, n, мы получаем следующую последовательность значений:

В общем случае разностные уравнения имеют также решения, определяемые в непрерывной области значений x. Например, частным решением уравнения (21) является «гамма-функция» G (x), так как одно из фундаментальных свойств этой функции состоит в том, что G (x + 1) = xG (x) (см. ФУНКЦИЯ).

Такое решение мы получим из уравнения (22), положив u_x = m^x. Подставляя эту функцию в (22), мы получаем уравнение

откуда m = 1, m = –¹/₂. Следовательно, уравнение (22) имеет решение

где А и В – произвольные постоянные. В частности, для A = ¹/₃ и B = ²/₃ мы получим при целочисленных значениях x последовательность (23).

Но (24) – не самое общее решение уравнения (22), так как другое решение можно получить, умножив любое частное решение на g (x), где g (x) – произвольная функция единичного периода, т.е. удовлетворяет уравнению

Примерами таких функций могут служить sin2px, cos2px, sin6px, cos6px и т.д.

Подставляя в (22)

нетрудно убедиться в том, что u_x – решение уравнения (22). Это решение получено при умножении второго члена в правой части (24) на подходящим образом выбранную функцию единичного периода.