(14.20 Кб)

Концентрическими называются окружности, имеющие общий центр (рис. 6,в). Угол называется центральным углом окружности, если его вершина совпадает с центром окружности, а стороны – с ее радиусами. Например, угол АОВ на рис. 6,в – центральный угол обеих концентрических окружностей. Окружность делится на 360 равных долей, и число градусов в центральном угле, опирающемся на дугу окружности, равно числу 1/360 долей окружности, укладывающихся в этой дуге.

На рис. 6,г А – центральный угол, а В – вписанный угол (т.е. угол, вершина которого лежит на окружности), опирающийся на ту же дугу окружности, что и центральный угол А. Согласно одной из теорем геометрии вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается. Например,

Следовательно, вписанный угол С, опирающийся на половину окружности, – прямой.

Площадь круга равна четверти произведения длины его окружности на диаметр. Отношение длины окружности к диаметру приближенно равно 3,14159265 (p); площадь круга можно также записать в виде A = p r², где r – радиус. История точного определения числа p (читается «пи») очень интересна сама по себе.

В 1882 немецкий математик Ф.Линдеман (1852–1939) доказал, что древняя проблема квадратуры круга, геометрически эквивалентная построению отрезка неразрешима, так как число p не удовлетворяет никакому алгебраическому уравнению с целыми коэффициентами.

Примеры элементарных геометрических доказательств. Утверждения элементарной геометрии распадаются на две группы: на теоремы, в которых доказательство утверждения предъявляется в явном виде, и задачи, в которых излагается способ построения, а затем проверяется его правильность. В качестве примера теоремы рассмотрим следующее доказательство.

Утверждение: в равнобедренном треугольнике углы, лежащие против равных стороны, равны.

Дано: треугольник АВС с равными сторонами АВ и АС.

Требуется доказать: РB = РC.

Шаги	Обоснование
1. Построить биссектрису AD угла ВАС.	Биссектриса угла может быть построена.
2. АВ = АС.	По предположению.
3. AD = AD.	Тождество.
4.	По построению.
5. Следовательно, треугольник ADB равен треугольнику ADC.	По второму признаку равенства треугольников: две стороны и угол, заключенный между ними, одного треугольника равны двум сторонам и заключенному между ними углу другого треугольника.
6. Следовательно,	Соответствующие углы равных треугольников равны.

Рассмотрим пример задачи на построение.

Задача: построить правильный шестиугольник, вписанный в окружность.

Дано: Окружность с центром О.

Шаги	Обоснование
1. Из точки О проводим любой радиус ОС.	Две точки определяют прямую.
2. Из точки С как из центра радиусом ОС опишем дугу, пересекающую окружность в точке F.	Построение.
3. Проведем OF и CF.	Две точки определяют прямую.
4. Треугольник OCF равносторонний.	По построению.
5. Углы в треугольнике OCF равны.	По доказанной ранее теореме.
6. Следовательно, угол COF равен 1/3 развернутого угла, или 1/6 двух развернутых углов.	Сумма углов треугольника равна развернутому углу.
7. Следовательно, дуга CF составляет 1/6 полной окружности.	Центральный угол измеряется стягивающей его дугой.
8. Следовательно, хорда CF является стороной правильного шестиугольника.	В одной и той же окружности равные дуги имеют равные хорды.

назад   дальше