Функциональные ряды. Как мы уже отмечали, членами бесконечного ряда могут быть не только числа, но и функции, например,

Суммой такого ряда также является функция, значение которой в каждой точке получается как предел вычисленных в этой точке частичных сумм. На рис. 1 показаны графики нескольких частичных сумм и суммы ряда (при x, изменяющемся от 0 до 1); s_n(x) означает сумму первых n членов. Сумма ряда представляет собой функцию, равную 1 при 0 Ј x < 1 и 0 при x = 1. Функциональный ряд может сходиться при одних значениях x и расходиться при других; в рассмотренном нами примере ряд сходится при –1Ј x <1 и расходится при других значения x.

(7.36 Кб)

Сумму функционального ряда можно понимать по-разному. В некоторых случаях важнее знать, что частичные суммы близки (в том или ином смысле) к некоторой функции на всем интервале (a, b), чем доказывать сходимость или расходимость ряда в отдельных точках. Например, обозначив частичную сумму n-го порядка через s_n(x), мы говорим, что ряд сходится в среднем квадратичном к сумме s(x), если

Ряд может сходиться в среднем квадратичном, даже если он не сходится ни в одной отдельной точке. Существуют также и другие определения сходимости функционального ряда.

Некоторые функциональные ряды получили название по тем функциям, которые в них входят. В качестве примера можно привести степенные ряды и их суммы:

Первый из этих рядов сходится при всех x. Второй ряд сходится при |x| < 1, если r < –1; при –1Ј x < 1, если –1 < r < 0; и при |x| Ј 1, если r > 0 (за исключением тех случаев, когда r – неотрицательное целое число; в последнем случае ряд обрывается после конечного числа членов). Формула (17) называется биномиальным разложением для произвольной степени.

назад   дальше