сходится, и сумма его с точностью до десяти знаков после запятой равна 1,6449340668, но для того, чтобы вычислить ее с этой точностью, потребовалось бы взять ок. 20 млрд. членов. Такие ряды обычно суммируют, первоначально преобразуя их с помощью различных приемов. При этом используют алгебраические или вычислительные методы; например, можно показать, что сумма ряда (8) равна p ²/6.

Обозначения. Работая с бесконечными рядами, полезно иметь удобные обозначения. Например, конечную сумму ряда (8) можно записать как

Такая запись указывает на то, что n последовательно полагается равным 1, 2, 3, 4 и 5, а результаты складываются:

Аналогично, ряд (4) можно записать в виде

где символ Ґ указывает на то, что мы имеем дело с бесконечным рядом, а не с конечной его частью. Символ S (сигма) называют знаком суммирования.

Бесконечная геометрическая прогрессия. Мы смогли просуммировать ряд (4), так как существовала простая формула для его частичных сумм. Аналогично, можно найти сумму ряда (2), или в общем виде,

если r принимает значения между –1 и 1. В этом случае сумма ряда (9) равна 1/(1 – r); при других значениях r ряд (9) расходится.

Можно рассматривать периодические десятичные дроби вроде 0,353535... как иной способ записи бесконечной геометрической прогрессии

Это выражение можно записать также в виде

где в скобках стоит ряд (9) с r = 0,01; следовательно, сумма ряда (10) равна

Тем же способом можно представить в виде обычной дроби любую периодическую десятичную дробь.

Признаки сходимости. В общем случае простой формулы для частичных сумм бесконечного ряда не существует, так что для установления сходимости или расходимости ряда прибегают к специальным методам. Например, если все члены ряда положительны, то можно показать, что ряд сходится, если каждый его член не превосходит соответствующего члена другого ряда, о котором известно, что он сходится. В принятых обозначения это можно записать следующим образом: если a_n і 0 и сходится, то сходится, если 0 Ј b_n Ј a_n. Например, так как ряд (4) сходится и

то можно сделать вывод, что ряд (8) тоже сходится. Сравнение представляет собой основной метод, позволяющий устанавливать сходимость многих рядов, сопоставляя их с простейшими сходящимися рядами. Иногда используют более специальные признаки сходимости (их можно найти в литературе по теории рядов). Приведем еще несколько примеров сходящихся рядов с положительными членами:

Сравнение можно использовать и для установления расходимости ряда. Если ряд расходится, то и ряд также расходится, если 0 Ј b_n Ј a_n.

Примерами расходящихся рядов могут служить ряды

и, в частности, т.к. гармонический ряд

В расходимости этого ряда можно убедиться, сосчитав следующие частичные суммы:

и т.д. Таким образом, частичные суммы, которые оканчиваются членами 1/4, 1/8, 1/16, 1/32, ј, превосходят частичные суммы расходящегося ряда (6), и поэтому ряд (14) должен расходиться.

назад   дальше