в некоторой системе координат по аналогии с (8). На обычной поверхности определитель матрицы (g_ij) положителен, в римановой же геометрии предполагается лишь, что он отличен от нуля. Риманово пространство с римановой геометрией необязательно является подпространством пространства какой-нибудь более высокой размерности. Символы Кристоффеля и тензор кривизны определяются через g_ij, как и в описанном выше случае обычных поверхностей.

Секционная кривизна K₁₂ риманова пространства в точке P определяется через ориентацию, задаваемую двумя векторами l₁ и l₂:

Если она одинакова для всех векторов l₁ и l₂, то она постоянна и для всех точек P, и пространство называется пространством постоянной кривизны, скажем K, где

Свернутый тензор кривизны, определяемый выражением

играет важную роль в общей теории относительности Эйнштейна. Пространство, в котором R_ik = mg_ij, называется пространством Эйнштейна.

Дифференциальная геометрия в целом. Наиболее фундаментальная из известных взаимосвязей между топологией и дифференциальной геометрией устанавливается теоремой Гаусса – Бонне, которая утверждает, что для обычных замкнутых поверхностей

где интеграл берется по всей поверхности, K – гауссова кривизна и c – характеристика Эйлера – Пуанкаре. На произвольные замкнутые римановы пространства этот результат был распространен в 1943 К.Аллендёрфером и А.Вейлем. См. также МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ; ТОПОЛОГИЯ.

назад