Students.by - это живая энциклопедия белорусского студента (статьи, книги, мультимедиа). Еще мы предлагаем поиск по лучшим полнотекстовым научным хранилищам Беларуси!
|
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ, раздел геометрии, в котором свойства кривых, поверхностей и других геометрических многообразий изучаются методами математического анализа, в первую очередь дифференциального исчисления. Работы по дифференциальной геометрии К.Гаусса (17771855), Г.Дарбу (18421917), Л.Бианки (18561928) и Л.Эйзенхарта (18761965) посвящены, главным образом, свойствам, проявляющимся в малой окрестности обычной точки многообразия. Это предмет так называемой дифференциальной геометрии «в малом». Более поздние работы, особенно начиная с 1930-х годов, посвящены изучению взаимосвязей между дифференциальной геометрией малых окрестностей и «глобальными» свойствами всего многообразия. Эту теорию называют дифференциальной геометрией «в целом». Кроме того, дифференциальная геометрия разбивается на разделы по аналогии с подразделением всей геометрии. Если на рассматриваемом многообразии определено расстояние, то возникает «метрическая» дифференциальная геометрия, называемая римановой в честь ее создателя Б.Римана (18261866). Аналогично проективная, аффинная и конформная дифференциальные геометрии занимаются изучением дифференциальных свойств пространств, в которых выделяются проективные, аффинные или конформные аспекты. Хотя первоначально дифференциальная геометрия занималась изучением свойств кривых и поверхностей в обычном пространстве, ныне она изучает многообразия любого числа измерений, которые могут быть (а могут и не быть) подпространствами евклидова пространства. Кривые на плоскости и в пространстве. Будем задавать кривые на плоскости параметрическими уравнениями x = f (s), y = g (s), где s натуральный параметр, длина дуги кривой. В векторной форме это можно записать так: X = F(s). См. также ВЕКТОР. Тогда единичный вектор касательной к кривой задается формулой
Вектор dT/ds в каждой точке кривой перпендикулярен к касательной, а его длина равна кривизне k кривой. Прямая, перпендикулярная касательной, проходящая через точку касания, называется нормалью к кривой. Следовательно, если N единичный вектор нормали, то
Кроме того, можно показать, что
Если k задана как функция от s, например, k = f(s), то уравнения (1)(3) определяют кривую однозначно с точностью до ее положения на плоскости. Соотношение k = f(s) называется внутренним уравнением кривой. Кривая в обычном пространстве, не лежащая на плоскости, называется пространственной кривой. Чтобы исследовать дифференциальную геометрию такой кривой, зададим ее параметрическими уравнениями x = f(s), y = g(s), z = k(s) (s натуральный параметр) или, в векторной форме, уравнением X = F(s). Единичный вектор касательной определяется равенством
Вектор dT/ds в каждой точке задает нормаль к кривой; заметим, что это лишь одна из бесконечного множества нормалей к пространственной кривой в этой точке. Единичный вектор в направлении вектора dT/ds называется единичным вектором главной нормали N кривой, а длина вектора dT/ds, как и в случае плоских кривых, называется кривизной кривой:
Вектор dN/ds перпендикулярен к N, и поэтому его можно записать в виде
где B единичный вектор нормали, перпендикулярной к N. Прямая, определяемая вектором B, называется бинормалью к кривой, а коэффициент t в (6) кручением кривой. Наконец, рассмотрим вектор dB/ds; можно показать, что
Соотношения (5)(7) называются формулами Френе. Из них следует, что если функции k = f (s) и t = y (s) заданы, то кривая определена однозначно с точностью до положения в пространстве. Таким образом, в этих формулах содержится вся теория пространственных кривых. Плоскость, определяемая векторами T и N, называется соприкасающейся, плоскость, содержащая векторы N и B, нормальной и плоскость, проходящая через векторы B и T, спрямляющей. |
|