Пусть заданы точка F с координатами (0,1) и прямая y = –1 (рис. 5). Множество точек P = (x,y), для которых расстояние PF равно расстоянию PD, называется параболой. Прямая y = –1 называется директрисой параболы, а точка F – фокусом параболы. Чтобы выяснить, как располагаются точки P, удовлетворяющие условию PF = PD, запишем его с помощью координат:

(6.61 Кб)

x² + (y – 1)² = (y + 1)² + (x – x)²,

или после упрощения x² = 4y. Это уравнение геометрического места точек, образующих параболу.

Рассмотрим теперь точки пересечения произвольной невертикальной прямой y = mx + b с параболой x² = 4y. Точки пересечения должны иметь координаты, удовлетворяющие одновременно обоим уравнениям, поэтому

x² = 4mx + 4b,

или

x² – 4mx – 4b = 0.

В общем случае существуют два решения x₁ и x₂ квадратного уравнения. Известно, что сумма этих решений x₁ + x₂ равна коэффициенту при x, взятому со знаком минус. Следовательно,

x₁ + x₂ = 4m.

Абсцисса средней точки M хорды P₁P₂ равна

Результат зависит только от m и не зависит от b.

Если теперь мы рассмотрим множество параллельных прямых с одним и тем же угловым коэффициентом m, но с различными значениями b, то середины всех хорд, высекаемых на этих прямых параболой, лежат на вертикальной прямой x = 2m (см. рис. 6).

(7.12 Кб)

Среди этих параллельных прямых есть одна особенная прямая T, пересекающая параболу только в одной точке. Эта прямая называется касательной. Точка касания P имеет координаты (2m,m²).

назад   дальше