Площади. При изучении площадей криволинейных плоских фигур открываются новые аспекты математического анализа. Такого рода задачи пытались решать еще древние греки, для которых определение, например, площади круга было одной из труднейших задач. Больших успехов в решении этой проблемы добился Архимед, которому также удалось найти площадь параболического сегмента (рис. 12). С помощью весьма сложных рассуждений Архимед доказал, что площадь параболического сегмента составляет 2/3 от площади описанного прямоугольника и, следовательно, в данном случае равна (2/3)(16) = 32/3. Как мы увидим в дальнейшем, этот результат можно легко получить методами математического анализа.

(7.67 Кб)

Предшественники Ньютона и Лейбница, главным образом Кеплер и Кавальери, решали задачи о вычислении площадей криволинейных фигур с помощью метода, который трудно назвать логически обоснованным, но который оказался чрезвычайно плодотворным. Когда же Валлис в 1655 соединил методы Кеплера и Кавальери с методами Декарта (аналитической геометрией) и воспользовался только что зародившейся алгеброй, сцена для появления Ньютона была полностью подготовлена.

Валлис разбивал фигуру, площадь которой требовалось вычислить, на очень узкие полоски, каждую из которых приближенно считал прямоугольником. Затем он складывал площади аппроксимирующих прямоугольников и в простейших случаях получал величину, к которой стремилась сумма площадей прямоугольников, когда число полосок стремилось к бесконечности. На рис. 13 показаны прямоугольники, соответствующие некоторому разбиению на полоски площади под кривой y = x².

(4.49 Кб)

Основная теорема. Великое открытие Ньютона и Лейбница позволило исключить трудоемкий процесс перехода к пределу суммы площадей. Это было сделано благодаря новому взгляду на понятие площади. Суть в том, что мы должны представить площадь под кривой как порожденную ординатой, движущейся слева направо и спросить, с какой скоростью изменяется заметаемая ординатами площадь. Ключ к ответу на этот вопрос мы получим, если рассмотрим два частных случая, в которых площадь заранее известна.

Начнем с площади под графиком линейной функции y = 1 + x, поскольку в этом случае площадь можно вычислить с помощью элементарной геометрии.

Пусть A(x) – часть плоскости, заключенная между прямой y = 1 + x и отрезком OQ (рис. 14). При движении QP вправо площадь A(x) возрастает. С какой скоростью? Ответить на этот вопрос нетрудно, так как мы знаем, что площадь трапеции равна произведению ее высоты на полусумму оснований. Следовательно,

(5.37 Кб)

Скорость изменения площади A(x) определяется ее производной

Мы видим, что Aў(x) совпадает с ординатой у точки Р. Случайно ли это? Попробуем проверить на параболе, изображенной на рис. 15. Площадь A (x) под параболой у = х² в интервале от 0 до х равна A(x) = (¹/₃)(x)(x²) = x³/3. Скорость изменения этой площади определяется выражением

(4.37 Кб)

которое в точности совпадает с ординатой у движущейся точки Р.

Если предположить, что это правило выполняется в общем случае так, что

есть скорость изменения площади под графиком функции y = f(x), то этим можно воспользоваться для вычислений и других площадей. На самом деле, соотношение Aў(x) = f(x) выражает фундаментальную теорему, которую можно было бы сформулировать следующим образом: производная, или скорость изменения площади как функции от х, равна значению функции f (x) в точке х.

Например, чтобы найти площадь под графиком функции y = x³ от 0 до х (рис. 16), положим

(4.24 Кб)

Возможный ответ гласит:

так как производная от х⁴/4 действительно равна х³. Кроме того, A(x) равна нулю при х = 0, как и должно быть, если A(x) действительно является площадью.

В математическом анализе доказывается, что другого ответа, кроме приведенного выше выражения для A(x), не существует. Покажем, что это утверждение правдоподобно с помощью следующего эвристического (нестрогого) рассуждения. Предположим, что существует какое-либо второе решение В(x). Если A(x) и В(x) «стартуют» одновременно с нулевого значения при х = 0 и все время изменяются с одинаковой скоростью, то их значения ни при каком х не могут стать различными. Они должны всюду совпадать; следовательно, существует единственное решение.

Как можно обосновать соотношение Aў(x) = f(x) в общем случае? На этот вопрос можно ответить, лишь изучая скорость изменения площади как функции от х в общем случае. Пусть m – наименьшее значение функции f (x) в интервале от х до (x + h), а M – наибольшее значение этой функции в том же интервале. Тогда приращение площади при переходе от х к (x + h) должно быть заключено между площадями двух прямоугольников (рис. 17). Основания обоих прямоугольников равны h. Меньший прямоугольник имеет высоту m и площадь mh, больший, соответственно, М и Mh. На графике зависимости площади от х (рис. 18) видно, что при изменении абсциссы на h, значение ординаты (т.е. площадь) увеличивается на величину, заключенную между mh и Mh. Угловой коэффициент секущей на этом графике находится между m и M. Что происходит, когда h стремится к нулю? Если график функции y = f(x) непрерывен (т.е. не содержит разрывов), то и М, и m стремятся к f(x). Следовательно, угловой коэффициент Aў(x) графика площади как функции от х равен f(x). Именно к такому заключению и требовалось придти.

(6.17 Кб) (4.52 Кб)

Лейбниц предложил для площади под кривой y = f(x) от 0 до а обозначение

При строгом подходе этот так называемый определенный интеграл должен быть определен как предел некоторых сумм на манер Валлиса. Учитывая полученный выше результат, ясно, что этот интеграл вычисляется при условии, что мы можем найти такую функцию A(x), которая обращается в нуль при х = 0 и имеет производную Aў(x), равную f (x). Нахождение такой функции принято называть интегрированием, хотя уместнее эту операцию было бы называть антидифференцированием, имея в виду, что она является в некотором смысле обратной дифференцированию. В случае многочлена интегрирование выполняется просто. Например, если

то

в чем нетрудно убедиться, продифференцировав A(x).

Чтобы вычислить площадь А₁ под кривой y = 1 + x + x²/2, заключенную между ординатами 0 и 1, мы просто записываем

и, подставляя х = 1, получаем A₁ = 1 + ¹/₂ + ¹/₆ = ⁵/₃. Площадь A(x) от 0 до 2 равна A₂ = 2 + ⁴/₂ + ⁸/₆ = ¹⁶/₃. Как видно из рис. 19, площадь, заключенная между ординатами 1 и 2, равна A₂ – A₁ = ¹¹/₃. Обычно она записывается в виде определенного интеграла

(4.08 Кб)

назад   дальше