Students.by - это живая энциклопедия белорусского студента (статьи, книги, мультимедиа). Еще мы предлагаем поиск по лучшим полнотекстовым научным хранилищам Беларуси!
|
Частные производные. В предыдущих примерах мы использовали производные от f (x,y) по х и по у. Рассмотрим теперь такие производные в более общем плане. Если у нас имеется функция двух переменных, например, F(x,y) = x2 xy, то мы можем определить в каждой точке две ее «частные производные», одну дифференцируя функцию по х и фиксируя у, другую дифференцируя по у и фиксируя х. Первая из этих производных обозначается как fўx(x,y) или ¶f/¶x; вторая как fўy(x,y) или ¶f/¶y. Если f(x,y) = x2 xy, то ¶f/¶x = 2x y и ¶f/¶y = x. Заметим, что частные производные от любой функции это, вообще говоря, новые функции. На практике эти функции в свою очередь дифференцируемы. Частные производные от fўx по х и у принято обозначать, соответственно, и или ¶2f/¶x2 и ¶2f/¶x¶y; аналогичные обозначения используются и для частных производных от fўy. Если обе смешанные производные (по х и у, по у и х) непрерывны, то ¶2f/¶x¶y = ¶2f/¶y¶x; в нашем примере ¶2f/¶x¶y = ¶2f/¶y¶x = 1. Частная производная fўx(x,y) указывает скорость изменения функции f в точке (x,y) в направлении возрастания х, а fўy(x,y) скорость изменения функции f в направлении возрастания у. Скорость изменения функции f в точке (х,у) в направлении прямой, составляющей угол q с положительным направлением оси х, называется производной от функции f по направлению; ее величина представляет собой комбинацию двух частных производных от функции f по х и по у, и равна Как мы уже видели в частных случаях, касательная плоскость к поверхности z = f(x,y) в точке (x0, y0) имеет уравнение Если обозначить x x0 через dx, а y y0 через dy, то уравнение касательной плоскости означает, что изменение dz = z z0 в касательной плоскости, когда x изменяется на dx, а у на dy, равно dz = fўx(x0,y0)dx + fўy(x0,y0)dy. Эта величина называется дифференциалом функции f. Если f имеет непрерывные частные производные, то изменение dz в касательной плоскости почти равно (при малых dx и dy) истинному изменению z на поверхности, но вычислить дифференциал обычно бывает легче. Уже рассмотренная нами формула из метода замены переменной, известная как производная сложной функции или цепное правило, в одномерном случае, когда у зависит от х, а х зависит от t, имеет вид: Для функций двух переменных аналогичная формула имеет вид: Понятия и обозначения частного дифференцирования нетрудно обобщить на более высокие размерности. В частности, в случае если поверхность задана неявно уравнением f(x,y,z) = 0, уравнению касательной плоскости к поверхности можно придать более симметричную форму: уравнение касательной плоскости в точке (x0,y0,z0) имеет вид Если задана поверхность f(x,y,z) = 0 и мы хотим узнать, что происходит на поверхности, то обычно любые две из трех переменных можно считать независимыми, а третью переменную рассматривать как зависимую от них. Иногда для обозначения частных производных в этом случае используется символ (¶z/¶x)y, чтобы подчеркнуть, что дифференцирование производится по х, а у считается независимой переменной. Имеем: эта формула подчеркивает, что мы не можем придать независимый смысл символам ¶x, ¶y, ¶z или рассматривать ¶z/¶x как отношение ¶z к ¶x. Обратимся теперь к примеру второй задачи, т.е. вычислению объемов. Пример 6. Найти объем тела, заключенного между поверхностью и над единичным квадратом, см. на рис. 25. (7.34 Кб) Пусть V(x) объем, ограниченный поверхностью и пятью плоскостями, а именно z = 0, y = 0, y = 1, x = 0 и плоскостью PQRS, перпендикулярной оси х и пересекающей эту ось на расстоянии х от начала координат. Нетрудно видеть, что производная V ў(x) равна А(x), площади поперечного сечения PQRS. Таким образом, Но А(x) площадь под кривой Следовательно, где интегрирование проводится по у, а х рассматривается как постоянная. Подставляя (9) в (8), запишем V в виде повторного интеграла В формуле (10) предполагается, что сначала проводится внутреннее интегрирование. Результат этого интегрирования, выражение [(5/6) (x2/4)], затем интегрируется по х от 0 до 1. Окончательный результат равен 3/4. Формулу (10) можно интерпретировать и как так называемый двойной интеграл, т.е. как предел суммы объемов элементарных «клеток». Каждая такая клетка имеет основание DxDy и высоту, равную высоте поверхности над некоторой точкой прямоугольного основания (см. рис. 26). Можно показать, что обе точки зрения на формулу (10) эквивалентны. Двойные интегралы используются для нахождения центров тяжести и многочисленных моментов, встречающихся в механике. (6.24 Кб) |
|