Students.by - это живая энциклопедия белорусского студента (статьи, книги, мультимедиа). Еще мы предлагаем поиск по лучшим полнотекстовым научным хранилищам Беларуси!
|
Более строгое обоснование математического аппарата. До сих пор мы излагали понятия и методы математического анализа на интуитивном уровне и, не колеблясь, прибегали к геометрическим фигурам. Нам осталось кратко рассмотреть более строгие методы, появившиеся в 19 и 20-м столетиях. В начале 19 в., когда эпоха штурма и натиска в «создании математического анализа» завершилась, на первый план вышли вопросы его обоснования. В работах Абеля, Коши и ряда других выдающихся математиков были точно определены понятия «предела», «непрерывной функции», «сходящегося ряда». Это было необходимо для того, чтобы внести логический порядок в основание математического анализа с тем, чтобы сделать его надежным инструментом исследования. Потребность в тщательном обосновании стала еще более очевидной после открытия в 1872 Вейерштрассом всюду непрерывных, но нигде не дифференцируемых функций (график таких функций в каждой своей точке имеет излом). Этот результат произвел ошеломляющее впечатление на математиков, поскольку явно противоречил их геометрической интуиции. Еще более поразительным примером ненадежности геометрической интуиции стала построенная Д .Пеано непрерывная кривая, целиком заполняющая некоторый квадрат, т.е. проходящая через все его точки. Эти и другие открытия вызвали к жизни программу «арифметизации» математики, т.е. придания ей большей надежности путем обоснования всех математических понятий с помощью понятия числа. Почти пуританское воздержание от наглядности в работах по основаниям математики имело свое историческое оправдание.По современным канонам логической строгости недопустимо говорить о площади под кривой y = f(x) и над отрезком оси х, даже если f непрерывная функция, не определив предварительно точный смысл термина «площадь» и не установив, что определенная таким образом площадь действительно существует. Эта задача была успешно решена в 1854 Б.Риманом, который дал точное определение понятия определенного интеграла. С тех пор идея суммирования, стоящая за понятием определенного интеграла, была предметом многих глубоких исследований и обобщений. В результате сегодня удается придать смысл определенному интегралу, даже если подынтегральная функция является повсюду разрывной. Новые понятия интегрирования, в создание которых большой вклад внес А.Лебег (18751941) и другие математики, приумножили мощь и красоту современного математического анализа.Вряд ли было бы уместно входить в детали всех этих и других понятий. Ограничимся лишь тем, что приведем строгие определения предела и определенного интеграла. 1) Число L называется пределом функции f (x) при х, стремящимся к а, если при любом сколь угодно малом числе e найдется соответствующее положительное число d, такое, что (Вертикальные черточки означают, что мы имеем дело с абсолютной величиной заключенного между ними числа.) 2) Пусть f(x) функция, при всех х принимающая значения из некоторого замкнутого интервала [a, b], т.е. при a Ј x Ј b. Поместим между a = x0 и b = xn последовательность чисел x1, x2, ..., xn 1, расположив их в порядке возрастания, т.е. так, чтобы Такая процедура называется разбиением интервала [a, b]. Пусть xk* любое число из замкнутого интервала [xk 1, xk], k = 1, 2, ..., n, и пусть Dkx = xk xk 1 длина этого интервала. Просуммируем все произведения f(xk*)Dkx (k = 1, 2, ..., n) и обозначим полученную сумму Если эта сумма имеет предел L, когда n стремится к бесконечности и наибольшая длина Dkx стремится к нулю, причем L не зависит от выбора xk* и xk, то L называется определенным интегралом от f(x) по [a, b] в смысле Римана и обозначается В заключение скажем, что математический анализ, являясь крайне ценным инструментом в руках ученого и инженера, и сегодня привлекает внимание математиков как источник плодотворных идей. В то же время современное развитие как будто свидетельствует и о том, что математический анализ все более поглощается такими доминирующими в 20 в. разделами математики, как абстрактная алгебра и топология. См. также ФУНКЦИЙ ТЕОРИЯ; ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. |
|