Рассмотрим систему, изображенную на рис. 7. Сила F, приложенная к тросу, заставляет массу, имеющую форму цилиндра, изменять свою скорость вращения. Будем характеризовать ориентацию цилиндра углом q между радиусом, проведенным из центра цилиндра в некоторую точку на нем, и произвольно выбранным направлением отсчета. Угол q измеряется в радианах; один радиан (примерно 57°) есть центральный угол, стягивающий дугу длиной r на окружности радиуса r. Таким образом, произвольный угол q стягивает дугу s, равную rq, а вся окружность сoответствует углу 2p радиан. Скорость любой точки на окружности равна

(5.25 Кб)

где под q /t понимается скорость, с которой изменяется угол q при вращении. Обозначив эту угловую скорость через w, мы наряду с равенством

s = rq

получим

v = rw.

Нетрудно вычислить кинетическую энергию цилиндра, вращающегося вокруг неподвижной оси с угловой скоростью w. Обозначим через m одну из материальных точек цилиндра, расположенную на расстоянии r_m от оси. Ее кинетическая энергия равна ¹/₂m(r_mw)², а полная кинетическая энергия всех материальных точек может быть представлена в виде суммы

или

T = ¹/₂Iw²,

где . Величина I, называемая моментом инерции, зависит от распределения массы в цилиндре и является его характеристикой. Момент инерции можно вычислить путем интегрирования, и для однородного цилиндра он равен ¹/₂Ma², где M – масса цилиндра, а a – его радиус. Если цилиндр вращается свободно и нет сил, которые совершали бы над ним работу, то из закона сохранения энергии следует, что его кинетическая энергия остается постоянной. В таком случае постоянна и величина w, и мы имеем вращательный аналог первого закона Ньютона.

Предположим теперь, что к тросу, намотанному на цилиндр, на короткое время от t₀ до t прилагается сила F и за это время точка, отмеченная на тросе, проходит расстояние от x₀ до х, а цилиндр поворачивается на угол от q₀ до q, причем

x – x₀ = a(q –q₀).

Работа, совершенная при этом силой, равна:

U = F(x – x₀) = Fa(q – q₀),

и точно так же, как при выводе выражения U = ¹/₂mv² – ¹/₂mv₀², мы можем выразить угловое перемещение через среднюю угловую скорость на этом интервале:

q – q₀ = ¹/₂(w +w₀)(t – t₀),

так что

U = ¹/₂Fa(w +w₀)(t – t₀).

За счет этой работы кинетическая энергия цилиндра изменяется от T₀ до T, так что

U = ¹/₂ I(w² – w₀²).

Приравнивая два последних выражения и производя упрощения, получаем выражение

напоминающее формулу для ускорения частицы. Поэтому мы можем ввести угловое ускорение

и тогда для малого интервала от t₀ до t получим L = Ia, т.е. вращательный аналог второго закона Ньютона, в котором величина Fa, вызывающая вращение, обозначена через L. Она называется вращающим моментом.

Изложенное можно обобщить на случай, когда отсутствуют неподвижные оси и тело свободно вращается в пространстве. В этом случае имеются три момента инерции, относящиеся к «главным осям». Мы не будем углубляться в рассмотрение этих вопросов. Однако можно вывести второй основной принцип статики для случая твердых тел. Пусть силы F₁ и F₂, приложенные к пластине, которая может вращаться, таковы, что вращения нет (рис. 8). Равновесие означает отсутствие углового ускорения, и поэтому полный вращающий момент равен нулю. Моменты сил F₁ и F₂ компенсируют друг друга при условии:

(5.23 Кб)

F₁a₁ = F₂a₂,

т.е. получается закон рычага, известный со времен Архимеда. Удалим ось и заменим ее действие третьей силой, как показано на рис. 9, предполагая, что весом пластины можно пренебречь. Для равновесия всех этих сил нужно, во-первых, чтобы пластина не перемещалась и, следовательно, компоненты сил удовлетворяли условию векторного равновесия и, во-вторых, чтобы не было вращения, т.е. выполнялось выведенное только что соотношение. Оба эти принципа составляют основу теории строительной механики и важны при проектировании мостов и зданий.

(4.05 Кб)

Проводившиеся выше рассуждения упрощаются, если пользоваться обозначениями математического анализа, в которых подразумевается предельный переход (t ® t₀), так что нет необходимости все время говорить о нем. Ньютон первым применил методы дифференциального и интегрального исчисления при решении физических задач, а последующее развитие механики как науки было делом таких математиков, как Л.Эйлер, Ж.Лагранж, П.Лаплас и К.Якоби, каждый из которых находил в ньютоновской механике источник вдохновения для своих математических изысканий.

назад