А.Пуанкаре (1854–1912) открыл представление гиперболического пространства с помощью конформной модели, в которой геометрическое место концов имеет вид плоскости W в евклидовом пространстве, а сферам с центрами в W соответствуют плоскости гиперболического пространства. Заменив сферы полусферами, Пуанкаре получил возможность представить все гиперболическое пространство с помощью половины евклидова пространства, а именно всеми точками, лежащими по одну сторону от W. Один пучок концентрических орисфер представлен плоскостями, параллельными W; можно доказать, что евклидовы расстояния в такой плоскости пропорциональны соответствующим геодезическим на орисфере, что полностью согласуется с наблюдением Вахтера.

Рассматривая сечение трехмерной модели Пуанкаре плоскостью, перпендикулярной W, мы получим модель аналогичную модели Пуанкаре для гиперболической плоскости. В этой модели геометрическое место концов имеет вид евклидовой прямой. В другой модели геометрическое место концов имеет вид окружности w, а прямые на гиперболической плоскости – дуг окружностей, ортогональных w. Две параллельные дуге r, проходящие через точку B, – просто дуги, проходящие через точку B и касающиеся дуги r в ее концах, как на рис. 5.

(6.57 Кб)

Такая модель называется «конформной» потому, что углы сохраняют свою величину, хотя расстояния неизбежно искажаются. Если пойти на искажение углов, то дуги можно заменить хордами, как на рис. 6. Эту более простую модель предложил в 1868 году Э.Бельтрами (1835–1900) для доказательства того, что гиперболическая геометрия так же логически непротиворечива, как и евклидова (хотя и Бойяи и Лобачевский были интуитивно убеждены, что их исследования никогда не приведут к двум противоречащим друг другу утверждениям, ни один из них не дожил до строгого доказательства непротиворечивости гиперболической геометрии). В модели Бельтрами множество прямых, проходящих через точку A, представлено обычным пучком параллельных или гиперпараллельных в зависимости от того, находится ли A внутри w, на w или вне w. В последнем случае (см. нижнюю часть рис. 6) ось пучка гиперпараллельных есть «поляра» точки A, соединяющая точки касания двух касательных, проведенных из точки A. Иначе говоря, две перпендикулярные прямые гиперболической плоскости представлены двумя прямыми, «сопряженными» относительно w. Такого рода идеи относятся к проективной геометрии; действительно, w можно рассматривать как коническое сечение на действительной проективной плоскости; в этом случае мы приходим к модели А.Кэли (1821–1895) и Ф.Клейна. Это коническое сечение w, геометрическое место концов, есть то, что Кэли назвал «абсолютом». (Преисполненный энтузиазмом, он сначала даже писал это слово с прописной буквы «А», но позднее перешел на строчную «а» во избежание упрека в непочтительности). Чтобы быть совершенно точным, следует отметить, что проективная плоскость, на которой работал Кэли, была не действительной, а комплексной: Кэли разрешал w быть коническим сечением, не содержащим действительных точек, отчего геометрия становится не гиперболической, а эллиптической.

(9.12 Кб)

назад