Students.by - это живая энциклопедия белорусского студента (статьи, книги, мультимедиа). Еще мы предлагаем поиск по лучшим полнотекстовым научным хранилищам Беларуси!
 |
 |
|
|
|
|
||||||||
  
|
|
Абсолютная геометрия. Большая часть вклада Бойяи связана с теми разделами гиперболической геометрии, которые принадлежат и евклидовой геометрии. Его «абсолютная геометрия» может быть выведена из геометрии порядка, если к последней добавить еще одно фундаментальное отношение, а именно «конгруэнтность». Это отношение определяется пятью аксиомами типа «Если ABC и AўB ўC ў – два треугольника, таких, что BC є BўCў, CA є CўAў, AB є AўBў, а D и Dў – еще две точки, такие, что [BCD] и [BўCўDў] и BD є BўDў, то AD є AўDў». Эти аксиомы служат основой теории длины и позволяют распространить отношение конгруэнтности с пар точек на углы. Определив обычным образом окружность, мы можем рассматривать первые четыре постулата Евклида как теоремы и доказать его первые двадцать восемь предложений, заменив слово «параллельные» на «не пересекающиеся». Однако необходимо тщательно избегать любого обращения к нашему обычному представлению о сумме углов треугольника; например, мы не можем более утверждать, что углы, опирающиеся на один и тот же сегмент окружности, равны, так как доказательство этого предложения зависело бы от суммы углов треугольника. С другой стороны, мы можем доказать, что три высоты остроугольного треугольника пересекаются в одной точке, построить теорию правильных многоугольников и правильных многогранников (с небольшими оговорками). Уточнив понятие параллельности (определив как параллельные лучи, которые просто не пересекаются), мы можем показать, что параллельность – отношение симметричное и транзитивное (т.е. если прямая r параллельна прямой s, то s параллельна r; если r параллельна s, а s параллельна t, то r параллельна t). Множество прямых, параллельных данному лучу, называется «пучком параллельных»; он содержит единственную прямую, проходящую через любую заданную точку. Следуя аналогии с обычным пучком (состоящим из всех прямых, проходящих через точку), мы можем считать, что пучок параллельных определяет «бесконечно удаленную точку», или, по терминологии Д.Гильберта (1862–1943), «конец». Вместо того, чтобы говорить, что два луча (или две прямые) параллельны или что они принадлежат некоторому пучку параллельных M, мы говорим, что два луча имеют общий конец M. Луч, проходящий через точку C и принадлежащий данному пучку параллельных, принято обозначать CM, как если бы это был отрезок; тот же символ CM можно использовать и для обозначения всей прямой. Если BM и CM – параллельные лучи, то фигура MCB называется «асимптотическим треугольником», поскольку она во многом ведет себя, как обычный треугольник. В частности, два асимптотических треугольника конгруэнтны, если у них имеется по конгруэнтной стороне и конгруэнтному углу. |
|
|
|