Students.by - это живая энциклопедия белорусского студента (статьи, книги, мультимедиа). Еще мы предлагаем поиск по лучшим полнотекстовым научным хранилищам Беларуси!
| ЧИСЛО e. |
|
ЧИСЛО
e.
Число, приближенно равное
2,718, которое часто встречается в математике и естественных науках. Например,
при распаде радиоактивного вещества по истечении времени t
от исходного количества вещества остается доля, равная e–kt,
где k
– число, характеризующее скорость распада данного вещества. Обратная
величина 1/k
называется средним временем жизни атома данного вещества, так как в среднем
атом прежде, чем распасться, существует в течение времени 1/k.
Величина 0,693/k
называется периодом полураспада радиоактивного вещества, т.е. временем,
за которое распадается половина исходного количества вещества; число 0,693
приближенно равно loge 2,
т.е. логарифму числа 2 по основанию e.
Аналогично, если бактерии в питательной среде размножаются со скоростью,
пропорциональной их числу в настоящий момент, то по истечении времени t
начальное количество бактерий
N
превращается в Nekt.
Затухание электрического тока I
в простом контуре с последовательным соединением, сопротивлением R
и индуктивностью L
происходит по закону I = I0e–kt,
где k = R/L, I0
– сила тока в момент времени t
= 0. Аналогичные формулы описывают
релаксацию напряжений в вязкой жидкости и затухание магнитного поля. Число
1/k
часто называют временем релаксации. В статистике величина e–kt
встречается как вероятность того, что за время t
не произошло событий, наступающих случайно со средней частотой k
событий в единицу времени. Если S
– сумма денег, вложенных под r
процентов с непрерывным начислением вместо начисления через дискретные промежутки
времени, то к моменту времени t
первоначальная сумма возрастет до Setr/100.
Причина «вездесущности» числа e заключается в том, что формулы математического анализа, содержащие экспоненциальные функции или логарифмы, записываются проще, если логарифмы брать по основанию e, а не 10 или какому-либо другому основанию. Например, производная от log10 x равна (1/x)log10 e, тогда как производная от loge x равна просто 1/x. Аналогично, производная от 2x равна 2xloge 2, тогда как производная от eх равна просто ex. Это означает, что число e можно определить как основание b, при котором график функции y = logb x имеет в точке x = 1 касательную с угловым коэффициентом, равным 1, или при котором кривая y = bx имеет в x = 0 касательную с угловым коэффициентом, равным 1. Логарифмы по основанию e называются «натуральными» и обозначаются ln x. Иногда их также называют «неперовыми», что неверно, так как в действительности Дж.Непер (1550–1617) изобрел логарифмы с другим основанием: неперов логарифм числа x равен 107 log1/e (x/107) (см. также ЛОГАРИФМ). Различные комбинации степеней e встречаются в математике так часто, что имеют специальные названия. Таковы, например, гиперболические функции
График функции y = ch x называется цепной линией; такую форму имеет подвешенная за концы тяжелая нерастяжимая нить или цепь. Формулы Эйлера
где i2 = –1, связывают число e с тригонометрией. Частный случай x = p приводит к знаменитому соотношению eip + 1 = 0, связывающему 5 наиболее известных в математике чисел. При вычислении значения e могут быть использованы и некоторые другие формулы (чаще всего пользуются первой из них):
Значение e с 15 десятичными знаками равно 2,718281828459045. В 1953 было вычислено значение e с 3333 десятичными знаками. Символ e для обозначения этого числа был введен в 1731 Л.Эйлером (1707–1783). Десятичное разложение числа e непериодично (e – иррациональное число). Кроме того, e, как и p, – трансцендентное число (оно не является корнем никакого алгебраического уравнения с рациональными коэффициентами). Это доказал в 1873 Ш.Эрмит. Впервые было показано, что столь естественным образом возникающее в математике число является трансцендентным. См. также МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ; НЕПРЕРЫВНЫЕ ДРОБИ; ЧИСЕЛ ТЕОРИЯ; ЧИСЛО p ; РЯДЫ. |
|
"ЧИСЛО e." STUDENTS.BY |
