I. Существуют по крайней мере две различные точки.

II. Любые две различные точки A и B лежат на единственной прямой (а именно на прямой AB).

III. Если A и B – различные точки, то на прямой AB существует по крайней мере одна точка, отличная от A и B.

IV. Если A и B – различные точки, то существует по крайней мере одна точка, не лежащая на прямой AB.

V. Если A, B, C – три неколлинеарные точки и D – точка, лежащая на BC и отличная от B и C, а E – точка, лежащая на CA и отличная от C и A, то существует точка F, лежащая на AB, такая, что точки D, E, F коллинеарны.

VI. Три диагональные точки любого полного четырехвершинника неколлинеарны.

VII. Существует по крайней мере одна точка, не лежащая в плоскости ABC.

VIII. Любые две различные плоскости пересекаются по прямой.

IX. Если на прямой имеются три различных точки, каждая из которых инвариантна относительно проективного соответствия, то любая точка этой прямой также инвариантна относительно этого соответствия.

Примечания к аксиомам. Все сказанное выше кажется интуитивно очевидным, пока мы не доходим до аксиомы V, которая исключает возможность, чтобы прямые AB и DE не пересекались в силу их параллельности. Эта аксиома позволяет определить плоскость ABC с помощью простого приема присоединения точки C ко всем точкам на прямой AB. Аксиома VI также оказывается полезной, хотя существуют некоторые странные геометрии, в которых она отрицается. Аксиома VII делает рассматриваемое пространство трехмерным, а аксиома VIII не позволяет ему стать четырехмерным. Мотивация для введения аксиомы IX станет ясна позднее.

назад   дальше