Вывести на печать

ПРОЕКТИВНАЯ ГЕОМЕТРИЯ, раздел геометрии, изучающий проективные свойства фигур. Отличается от евклидовой геометрии тем, что в ней не используются понятия параллельности, перпендикулярности и равенства отрезков и углов и предполагается, что любые две прямые на плоскости имеют общую точку. Тесно связанная с перспективой, проективная геометрия плоскости занимается изучением свойств и отношений, которые остаются неизменными при проецировании плоской фигуры на другую плоскость.

Те, кто изучал только евклидову геометрию, считают очевидным факт, что две прямые, лежащие в одной плоскости и имеющие общий перпендикуляр, параллельны, т.е. не пересекутся, как бы далеко мы их ни продолжали. Однако если мы, например, посмотрим на железнодорожные рельсы, являющиеся параллельными прямыми, то нам безусловно покажется, что они пересекаются на горизонте. Предположив, что любые две прямые пересекаются, мы получаем систему утверждений, столь же логически непротиворечивую, как и отличная от нее система утверждений евклидовой геометрии (см. также ГЕОМЕТРИЯ; НЕЕВКЛИДОВА ГЕОМЕТРИЯ).

Можно было бы ожидать, что геометрия без окружностей, расстояний, углов и параллельности окажется беднее евклидовой геометрии. Этимологически кажется странным, что может существовать геометрия, не имеющая дело с измерениями (ведь само слово «геометрия» произошло от греческого слова, означающего землемерие). Но в действительности возникает очень красивая и сложная система с теоремами, о которых Евклид не мог даже помыслить, поскольку сосредоточенность на измерении увела его совсем в другую сторону. Однако сам переход от аксиом и простейших теорем к «интересным» теоремам проективной геометрии напоминает по духу, если и не в деталях, работы Евклида.

Лишь немногие из этих неметрических утверждений были известны до 1425, когда художник Брунеллески начал заниматься теорией перспективы, систематизированной несколькими годами позже в трактате Альберти. После этого было бы естественно перейти к построению проективной геометрии для трех измерений, но вскоре обнаружилось, что и двух измерений вполне достаточно, чтобы надолго привлечь внимание математиков к задачам проективной геометрии. Плоская проективная геометрия занимается изучением геометрических свойств, не меняющихся при центральном проецировании. Примером такого проецирования может служить тень от абажура лампы, падающая на стену или на пол. Обычно световое пятно имеет круглую или эллиптическую форму на полу и гиперболическую – на стене. Таким образом, в проективной геометрии нет привычного различия между окружностью, эллипсом, параболой и гиперболой; это просто конические сечения, подобные друг другу. Если художник рисует кафельный пол на вертикальном холсте, квадратные плитки уже не кажутся квадратами, т.к. их стороны и углы искажаются, но линии, на которых лежат стороны, остаются прямыми. Поэтому проективная геометрия имеет дело с треугольниками, четырехугольниками и т.д., но не с прямоугольными треугольниками, параллелограммами и т.д. См. также КОНИЧЕСКИЕ СЕЧЕНИЯ.

История. Хотя конические сечения изучали еще Менехм, Евклид, Архимед и Аполлоний в 4 и 3 вв. до н.э., первые действительно проективные теоремы были открыты Паппом Александрийским в 3 в. н.э., а самое раннее доказательство проективной теоремы, исходящее из чисто проективных свойств фигур, было предложено Ж.Понселе (1788–1867), который, находясь в русском плену после бегства Наполеона из Москвы, написал Трактат о проективных свойствах фигур. Развивая идею, высказанную ранее И.Кеплером (1571–1630), Понселе получил проективное пространство из обычного, постулировав существование «бесконечно удаленной плоскости», содержащей «бесконечно удаленную прямую» для каждого пучка параллельных плоскостей, и «бесконечно удаленную точку» для каждого пучка параллельных прямых. Это позволило утверждать, что две параллельные прямые пересекаются в бесконечно удаленной точке. Но для того, чтобы действительно перейти к проективной геометрии, надо уравнять в правах эти дополнительно введенные бесконечно удаленные точки с обычными. Большую роль в этом сыграли работы К. фон Штаудта (1798–1867), а последние следы зависимости от измерений устранил в 1899 М.Пьери, построивший систему аксиом проективной геометрии. Впоследствии другими авторами предлагались системы аксиом, слегка отличные от системы Пьери. Используемая нами далее система аксиом была предложена в 1910 О.Вебленом и Дж.Юнгом.

дальше



ПРОЕКТИВНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
История
Определения
Аксиомы
Примечания к аксиомам
Теорема Дезарга
Основная теорема проективной геометрии
Классификация проективных соответствий на прямой
Коллинеации и корреляции
Литература

Дополнительные опции

Популярные рубрики:

Страны мира Науки о Земле Гуманитарные науки История Культура и образование Медицина Наука и технология


Добавьте свои работы

Помогите таким же студентам, как и вы! Загрузите в Интернет свои работы, чтобы они стали доступны всем! Сделать это лучше через платформу BIBLIOTEKA.BY. Принимаем курсовые, дипломы, рефераты и много чего еще ;- )

Опубликовать работы →

Последнее обновление -
28/03/2024

Каждый день в нашу базу попадают всё новые и новые работы. Заходите к нам почаще - следите за новинками!

Мобильная версия

Можете пользоваться нашим научным поиском через мобильник или планшет прямо на лекциях и занятиях!